Når man arbejder med vektorer i matematiktimerne i gymnasiet, handler det groft sagt om at tegne og beregne nogle pile i et koordinatsystem – vi kommer selvfølgelig til at gå mere i detaljer i dette indlæg.
Der er nok at tage fat på, når det kommer til vektorregning, og derfor vil vi gennemgå alle disse punkter:
Hvad er en vektor?
Hvordan finder man en vektor mellem to punkter?
Hvad er en stedvektor?
Hvad er en nulvektor?
Hvad er en tværvektor?
Hvordan finder man længden af en vektor?
Hvad er en enhedsvektor?
Hvordan beregner man summen af to vektorer?
Hvordan beregner man differensen af to vektorer?
Hvordan ganger man en vektor med et tal?
Hvad er skalarproduktet af to vektorer?
Hvordan finder man vinklen mellem to vektorer?
Hvordan bestemmer man om to vektorer er ortogonale?
Hvordan bestemmer man projektionen af to vektorer?
Hvordan finder man længden af en projektionsvektor?
Hvordan finder man arealet af et parallelogram udspændt af to vektorer?
Hvordan finder man arealet af en trekant udspændt af to vektorer?
Vi håber, at du finder svar på lige præcis det, du søger, og at du har fået styr på vektorregning, når du har læst dette indlæg.
Hvad er en vektor?
En vektor er en matematisk størrelse, som har både en talværdi og en retning. Det kan fx være måling af vind, hvor man måler vindens hastighed (talværdien her er hastigheden og kan fx være 5 meter i sekundet), og hvor man måler vindens retning (fx at vinden kommer fra nordøst).
Man tegner normalt en vektor som en pil, hvor pilens længde angiver talværdien, og hvor pilens orientering angiver retningen.
Som regel betegner man en vektor med et lille bogstav med en pil over, som her:
En vektor har et koordinatsæt (a1, a2), der angiver vektorens længde i x-aksens retning og i y-aksens retning. Man skriver som regel koordinatsættet i en søjle i parentes med x-koordinaten (a1) øverst og y-koordinaten (a2) nederst på denne måde:
Man læser det som “vektor a er lig med a1 over a2”.
En vektor kan fx se sådan her ud:
Kalder vi vektoren for a, skriver vi dens koordinater på denne måde:
X-koordinaten er 4, fordi længden er 4, når man går ud ad x-aksen, og y-koordination er 2, fordi længden er 2, når man går op ad y-aksen.
Vær opmærksom på, at koordinaterne kan være positive eller negative, alt efter hvordan pilen vender:
X-koordinaten er positiv, når pilen peger fremad, fordi man går hen ad x-aksen.
X-koordinaten er negativ, når pilen peger tilbage, fordi man går tilbage ad x-aksen.
Y-koordinaten er positiv, når pilen peger opad, fordi man går op ad y-aksen.
Y-koordinaten er negativ, når pilen peger nedad, fordi man går ned ad y-aksen.
Hvordan finder man en vektor mellem to punkter?
Man kan beregne en vektors koordinater, når man kender punkterne, hvor vektoren starter og ender. Hvis vi kender koordinaterne for punkterne A og B, kan vi finde længden af vektoren AB med denne formel:
Eksempel: Vi har denne vektor:
På ovenstående billede kan vi se, at vektoren går fra punktet A(2, 1) til punktet B(6, 3), så det sætter vi ind i vores formel:
Vektoren har dermed koordinatsættet (4, 2). Når vi skal finde en vektor mellem to punkter, kan vi også kalde det en forbindelsesvektor.
Lad os sige, at vi havde en vektor, der gik fra punktet C(1, -1) til punktet D(5, 1), som vi beregnede på denne måde:
Så får vi samme koordinatsæt som før. Hvis to eller flere vektorer har samme størrelse og retning, siger man, at de er ens eller repræsenterer den samme vektor. Det gælder, uanset hvor i koordinatsystemet de er placeret. Man kan dermed parallelforskyde vektorer, som vist her:
Hvis koordinaterne til en vektor ikke er angivet, er det derfor lige meget, hvor i koordinatsystemet man tegner vektoren, så længe man har styr på pilens længde og retning. Vektorens koordinater bestemmer dermed kun pilens længde og retning, ikke dens placering i koordinatsystemet.
Disse to vektorer er fx ikke ens:
I den ene har vi byttet om på retningen, så den i stedet går fra punktet E(6, 3) til punktet F(2, 1). Vi kan som bekendt beregne vektorens koordinater:
Man kan dog kalde disse to vektorer CD og EF for modsatrettede (fordi de er parallelle og går i hver deres retning), mens vektorerne AB og CD er ensrettede (fordi de er parallelle og går i samme retning). Ensrettede og modsatrettede vektorer kræver kun, at de er parallelle – længden er underordnet.
Hvad er en stedvektor?
En stedvektor er særlig, fordi den starter i punktet (0, 0) (punktet, som man også kalder origo). Dens slutpunkt er (p1, p2), og koordinaterne for dette punkt svarer netop til stedvektorens koordinatsæt.
Se dette billede:
Vektoren OP går fra punktet O(0, 0) til punktet P(3, -2) og har koordinatsættet:
Hvad er en nulvektor?
Nulvektorens x- og y-koordinat er begge 0, og koordinatsættet er dermed:
Nulvektoren har dermed hverken en størrelse eller en retning, og den kaldes derfor også en uegentlig vektor. Til sammenligning kaldes alle andre vektorer end nulvektoren for egentlige vektorer.
Hvad er en tværvektor?
En tværvektor til vektor a er en vektor, der har samme længde som vektor a, men som er roteret 90° mod urets retning. Man betegner en tværvektor til vektor a på denne måde:
Man tegner et symbol, der ligner en lille hat, ovenpå vektoren, og man læser også ovenstående notation som “a hat”. Man finder tværvektoren med denne formel:
Formlen er simpel, for koordinaterne til tværvektoren minder om koordinaterne til vektoren, da tværvektoren er blot drejet 90°.
Lad os tage et eksempel:
Vi ønsker at finde tværvektoren til vektor a med koordinatsættet (-3, 4):
Vi kan også illustrere det med et billede:
Hvordan finder man længden af en vektor?
Man angiver længden af en vektor ved skrive vektoren inden for to lodrette søjler på denne måde:
Man finder længden af en vektor med denne formel:
Lad os kigge på et eksempel. Vi vil finde længden af denne vektor:
Vi sætter vores tal ind i formlen:
Dermed har vi beregnet, at formlen har en længde på 10.
Synes du, at formlen virker bekendt? Den svarer faktisk til Pythagoras sætning. Man kan forestille sig, at vektorens længde svarer til hypotenusen i en retvinklet trekant, og så er x- og y-koordinaterne de to kateter.
Hvad er en enhedsvektor?
En enhedsvektor har længden 1. Når en enhedsvektor danner en vinkel v med x-aksen, har den dette koordinatsæt:
Du husker måske fra trigonometri, at vi definerer cosinus og sinus ud fra enhedscirklen, som netop har en radius på 1, og hvor et vilkårligt punkt på cirklen betegnes Pv. Cosinus til vinkel v er x-koordinaten indtil retningspunktet Pv, og sinus til vinkel v er y-koordinaten indtil retningspunktet Pv.
Hvis man vil lave en vektor om til en enhedsvektor, kan man forkorte den, så den har en længde på 1, men stadig har samme retning. Det gør man med denne formel:
Vi tager et eksempel, hvor vi har denne vektor:
Først beregner vi længden af vektoren a på samme måde, som vi gjorde ovenfor:
Det sætter vi ind i formlen og beregner koordinatsættet:
Enhedsvektoren, der er ensrettet med vektoren a, har dermed koordinatsættet (5/13, 12/13). Bemærk, at når man ganger et helt tal med en brøk, ganger man ind i tælleren. Vi kunne også skrive koordinatsættet som (0,38, 0,92), men her er det mere præcist at skrive brøkerne.
Hvordan beregner man summen af to vektorer?
Man kan finde summen af to vektorer ved at lægge vektorernes x-koordinater sammen og lægge deres y-koordinater sammen:
Lad os kigge på et eksempel. Vi har koordinatsættet for vektor a og vektor b, som vi lægger sammen:
Det kan vi også illustrere grafisk. Vi starter med at tegne vektor a (husk, at placeringen i koordinatsystemet er ligegyldig – i vores eksempel skal vektoren bare gå 1 ud ad x-aksen og 3 op ad y-aksen). Vi placerer startpunktet for vektor b i slutpunktet for vektor a, og her skal vektor b gå 4 ud ad x-aksen og 2 ned ad y-aksen. Sumvektoren (vektor a og vektor b lagt sammen) har samme startpunkt som vektor a og samme slutpunkt som vektor b:
Hvordan beregner man differensen af to vektorer?
Man kan finde differensen af to vektorer ved at trække vektorernes x-koordinater fra hinanden og trække deres y-koordinater fra hinanden:
Vi tager et eksempel. Vi har koordinatsættet for vektor a og vektor b, som vi trækker fra hinanden:
Igen kan vi illustrere det grafisk. Nu skal vektor a og vektor b starte i det samme punkt. Differensvektoren (vektor b trukket fra vektor a) starter i vektor b’s slutpunkt og har samme slutpunkt som vektor a:
-9
Hvordan ganger man en vektor med et tal?
Man kan forlænge en vektor ved at gange med et helt tal k. Det gør man ved at gange tallet med begge koordinater i vektorens koordinatsæt:
Vi kan beregne et eksempel, hvor k = 3, og hvor vi har denne vektorens koordinater er -3 og 5:
Sådan har vi beregnet, at vektorens koordinatsæt bliver (-9, 15), når vi forlænger med 3.
Hvad er skalarproduktet af to vektorer?
Som vist ovenfor kan man gange en vektor med et helt tal, men man kan ikke gange to vektorer med hinanden. Når man ganger to vektorers x-koordinater sammen og deres y-koordinater sammen og tager summen af det, får man derimod skalarproduktet (også kaldet prikproduktet). Skalarproduktet bruges til at finde vinklen mellem to vektorer og en projektionsvektor (begge dele kommer vi ind på senere).
Formlen for skalarproduktet er dermed:
Vi har gjort prikken ekstra stor, så man ikke forveksler den med et gangetegn. Nogle steder kan du godt se formlen skrevet med et almindeligt gangetegn, men her er det underforstået, at man altså ikke kan gange to vektorer sammen, og at formlen derfor viser, hvordan man finder skalarproduktet.
Læg også mærke til, at man ikke får en vektor, men derimod et tal (kaldet en skalar).
Lad os beregne et eksempel, hvor vi har en vektor a med koordinaterne (2, -3) og en vektor b med koordinaterne (9, 4):
Vi har dermed beregnet skalarproduktet til at være 6.
Hvordan finder man vinklen mellem to vektorer?
Når to vektorer a og b lægges i samme startpunkt, kan man beregne den mindste vinkel v med denne formel:
Altså finder man cosinus til en vinkel ved at tage skalarproduktet og dividere med de to vektorers længder ganget sammen. Vi kender allerede formlerne for skalarproduktet og længden af en vektor, så vi kan omskrive formlen således:
Vinklen vil være mellem 0° og 180°.
Vi beregner et eksempel, hvor vi har to vektorer med koordinaterne (2, 2) og (5, -1):
For at tage cosinus til v, skal vi tage den omvendte cosinusfunktion:
Sådan har vi beregnet vinklen mellem de to vektorer til at være 56,31°.
Vi kan også omskrive formlen, så v allerede er isoleret, og så formlerne for skalarproduktet og længderne allerede indgår:
Hvordan bestemmer man om to vektorer er ortogonale?
To vektorer a og b er ortogonale vektorer, når de står vinkelret på hinanden. Hvis to vektorer er ortogonale, giver skalarproduktet 0. Desuden skal begge vektorer være egentlige vektorer (dvs. ikke nulvektoren) for at kunne stå vinkelret på hinanden.
Vi skriver det på denne måde:
Eksempel: Vi vil undersøge, om følgende to vektorer er ortogonale:
Vi sætter tallene ind i formlen for skalarproduktet:
Skalarproduktet er 0, og dermed er de to vektorer ortogonale (de er vinkelrette, fordi de danner en vinkel på 90°).
Lad os kigge på et andet eksempel, hvor vi har disse to vektorer:
Her har vi en ubekendt t, og vi ønsker at finde ud af, hvad værdien af t skal være, så vektor a og b er ortogonale.
Først beregner vi skalarproduktet:
Hvis vektorerne skal være ortogonale, skal skalarproduktet være 0, så vi sætter ovenstående værdi lig 0. Det giver os en ligning, som vi løser:
Vi har dermed beregnet, at når t = 3, er de to vektorer a og b ortogonale.
Hvordan bestemmer man projektionen af to vektorer?
Man finder projektionen af en vektor b ved at nedfælde vektor b vinkelret på vektor a. Det giver en projektionsvektor, der er parallel med vektor a. Man betegner projektionsvektoren:
Hvis vi viser det med et billede, er projektionsvektoren vist med den lyserøde pil:
Formlen for projektionsvektoren er:
Vi kigger på et eksempel. Vi har to vektorer med samme startpunkt:
Disse tal sætter vi ind i formlen:
Så kan vi bestemme vektor b’s projektion på vektor a:
Sådan har vi beregnet koordinaterne til projektionsvektoren (værdierne passer med det billede, som vi har vist ovenfor).
Hvordan finder man længden af en projektionsvektor?
Man beregner længden af en projektionsvektor med denne formel:
Lad os beregne længden af projektionsvektoren i eksemplet ovenfor:
Sådan har vi beregnet, at projektionsvektoren har en længde på 4,67.
Hvordan finder man arealet af et parallelogram udspændt af to vektorer?
Hvis man har to vektorer a og b (som ikke er hverken parallelle eller nulvektoren), kan de danne et parallelogram. Se billedet her:
Her har vi to vektorer med disse koordinater: vektor a = (3, 1) og vektor b = (4, -2). De er vist med de sorte pile på billedet. Vi har dannet et parallelogram ved at parallelforskyde vektor a, så den har startpunkt i vektor b’s slutpunkt, og ved at parallelforskyde vektor b, så den har startpunkt i vektor a’s slutpunkt. Dermed er vektor a og b også repræsenteret ved de lyserøde pile på billedet.
Man siger, at parallelogrammet er udspændt af vektorerne a og b, og man kan beregne arealet af parallelogrammet ved hjælp af denne formel:
Lad os beregne eksemplet ovenfor. Vi indsætter koordinaterne:
Bemærk, at et areal ikke kan være negativt, så vi tager den absolutte værdi (den numeriske værdi), som ændrer det oprindelige tal fra negativt til positivt.
Dermed har vi beregnet, at parallelogrammet har et areal på 10.
Hvordan finder man arealet af en trekant udspændt af to vektorer?
To vektorer kan også danne en trekant ved at tegne et linjestykke mellem vektor a og vektor b’s slutpunkter, som vist her:
Arealet af en trekant er det halve af arealet af en firkant (som et parallelogram jo er), så formlen for arealet af en trekant udspændt mellem to vektorer er:
For god ordens skyld beregner vi alligevel et eksempel. Billedet viser de samme vektorer som før, så vi indsætter deres koordinater:
Arealet af trekanten udspændt mellem vektor a og b er dermed 5.
Hvad er de vigtigste begreber inden for vektorregning?
Som opsummering vil vi give en oversigt over de begreber, som vi har gennemgået i dette indlæg:
Vektor: En pil med en længde og en retning. Kan parallelforskydes.
Forbindelsesvektor: En vektor mellem to bestemte punkter.
Ensrettede vektorer: Parallelle vektorer med samme retning.
Modsatrettede vektorer: Parallelle vektorer med modsat retning.
Stedvektor: En vektor, der starter i origo (punkt (0, 0)).
Nulvektor: Vektoren med koordinatsæt (0, 0).
Egentlig vektor: Alle andre vektorer end nulvektoren.
Tværvektor: En vektor, der er roteret 90° mod urets retning.
Enhedsvektor: En vektor med en længde på 1.
Sumvektor: To vektorer lagt sammen.
Differensvektor: To vektorer trukket fra hinanden.
Skalarprodukt/prikprodukt: Et tal, der er summen af to vektorers x- og y-koordinater ganget sammen.
Ortogonale vektorer: To vektorer, der står vinkelret på hinanden.
Projektionsvektor: En vektor, der er nedfældet vinkelret på en anden vektor.
Det skal også lige nævnes, at alle de eksempler, som vi har gennemgået i dette indlæg, har været eksempler på vektorregning i to dimensioner (i et plan). Man kan også lave det i tre dimensioner (i et rum) eller i et hypotetisk antal dimensioner! Men det vil vi ikke gennemgå her.
Hvis du stadig har svært ved vektorregning, er der hjælp at hente hos GoTutor. Vi tilbyder lektiehjælp i matematik fra søde og erfarne lektiehjælpere.