Trigonometri er et område inden for matematik, som går ud på at beregne størrelserne på vinkler og sider i trekanter. Det er meget smart, selvom det måske lyder kompliceret.
I dette indlæg gennemgår vi alt, der er værd at vide om trigonometri, men hvis du leder efter en bestemt information, har du her en oversigt over det, som vi kommer ind på:
Hvad er trigonometri?
Trigonometri: formler
Hvordan beregner man sinus?
Hvordan beregner man cosinus?
Hvordan beregner man tangens?
Bevis for sinus, cosinus og tangens i retvinklede trekanter
Hvad bruger man sinusrelationerne til?
Hvad bruger man cosinusrelationerne til?
Bevis for sinusrelationerne
Bevis for cosinusrelationerne
Forskel på cosinus- og sinusrelationerne
Opsummering
Men hvis du ikke helt eller slet ikke ved, hvad trigonometri er, kan du bare læse løs i dette indlæg. Hvis du søger hjælp til andre emner inden for matematik, kan du tjekke andre indlæg på GoTutors matematikblog. Du kan også læse om vores tilbud af lektiehjælp i matematik, hvis du mangler ekstra hjælp til matematik i folkeskolen eller på gymnasiet.
Hvad er trigonometri?
Trigonometri handler om forholdet mellem vinkler og sider i trekanter. For at beregne vinklerne og siderne, skal man bruge de trigonometriske funktioner. De tre mest almindelige trigonometriske funktioner hedder:
Sinus
Cosinus
Tangens
Det er de funktioner, der hedder “sin”, “cos” og “tan” på din lommeregner.
De trigonometriske funktioner forbinder vinklerne i en retvinklet trekant til forholdet mellem sidelængderne i trekanten. En retvinklet trekant er en trekant med en vinkel på 90 grader, som vist på dette billede:
Siderne a og b kaldes kateter. Siden c, som ligger modsat den rette vinkel, kaldes hypotenusen.
Hvis du skal finde en vinkel eller en side i en retvinklet trekant, skal du bare kende én vinkel og én side eller to sider for at kunne finde resten ved hjælp af tangens, sinus og cosinus.
Hvis du derimod skal finde en vinkel eller en side i en trekant, der ikke er retvinklet, skal du bruge sinusrelationerne eller cosinusrelationerne. Vi gennemgår sinus- og cosinusrelationerne senere i dette indlæg.
Trigonometri: formler
Formlerne for tangens, sinus og cosinus lyder:
Som nævnt gælder disse formler kun for retvinklede trekanter. Vinklen v skal være en af de spidse vinkler – det vil sige ikke den rette vinkel. Den modstående katete er den, som står modsat vinkel v. Den hosliggende katete er den, som ligger hos vinkel v.
For trekant ∆ABC nedenfor kan vi vise formlerne, der tager udgangspunkt i henholdsvis vinkel A og vinkel B.
Det er mest almindeligt at tage udgangspunkt i vinkel A.
Hvordan beregner man sinus?
Vi vil nu gennemgå eksempler, hvor man bruger sinus til at finde vinkler og sider.
Vi tager et eksempel, hvor vi har en retvinklet trekant, hvis ene spidse vinkel v er 40 grader, og kateten, der står modsat vinkel v, har en sidelængde på 7. Vi vil gerne finde længden af hypotenusen, som vi kalder x.
Vi skal bruge sinus, fordi sinus til en vinkel svarer til forholdet mellem den modstående katete og hypotenusen i en retvinklet trekant.
Vi sætter tallene ind i vores formel:
Vi isolerer x i ligningen. Når du skal finde sinus til 40 på din lommeregner, skal du først taste 40, og derefter skal du trykke på “sin”-tasten. Husk parenteser, så du ikke tager sinus til 7/40. Altså ser vores ligning sådan ud:
På lommeregneren trykker vi altså på disse taster i denne rækkefølge:
7
÷
(
40
sin
)
=
Sådan finder vi frem til, at hypotenusen har en længde på 10,89.
Vi beregner endnu et eksempel, hvor vi i stedet kender hypotenusen og gerne vil finde længden af den modstående katete, som vi kalder x. Vinklen v er 20 grader, og hypotenusen er 10.
Vi sætter tallene ind i formlen, så den ser sådan her ud:
Vi isolerer x i ligningen:
Hvis vi skal taste det ind på lommeregneren, er det nemmest først at tage sinus til 20 og derefter gange med 10, så man taster følgende:
20
sin
×
10
=
Den modstående katete har dermed en længde på 3,42.
Vi vil nu prøve at beregne et eksempel, hvor vi kender to sidelængder og skal bruge sinus til at finde vinkel v. Vi har en retvinklet trekant, hvor den modstående katete har en sidelængde på 5, og hypotenusen har en sidelængde på 10.
Disse tal sætter vi ind i vores formel:
For at finde vinklen skal vi tage sin⁻¹ på begge sider af lighedstegnet. Læg mærke til, at vi nu skal bruge den omvendte sinusfunktion (sinus i minus første), fordi vi “regner baglæns”. Du finder “sin⁻¹”-tasten på din lommeregner ved først at trykke på den tast, der hedder “2nd”.
På vores lommeregner har vi trykket på disse taster i denne rækkefølge:
5
÷
10
=
2nd
sin⁻¹
Sådan har vi beregnet, at vinklen v har en størrelse på 30 grader.
Opsummering: Hvis du skal bruge sinus, skal du altså kende to af følgende: en spids vinkel, den modstående katete og hypotenusen, og du skal ønske at finde den tredje.
Generelt lyder formlerne for sinus:
Vær opmærksom på at bruge parenteser korrekt! Hvis man taster 7÷40 sin på sin lommeregner, får man ikke samme resultat, som hvis man taster 7÷(40 sin).
Hvordan beregner man cosinus?
Vi vil nu gennemgå eksempler, hvor man bruger cosinus til at finde vinkler og sidelængder.
Vi har en retvinklet trekant, hvor vi ved, at vinklen v er 60 grader, og den hosliggende katete til vinkel v har en længde op 9. Vi vil gerne finde længden af hypotenusen.
Til det skal vi bruge cosinus, fordi cosinus til en vinkel svarer til forholdet mellem den hosliggende katete og hypotenusen i en retvinklet trekant.
Vi får dermed denne ligning:
Vi isolerer x i ligningen:
Sådan har vi beregnet hypotenusens længde, som er 18.
Det kan også være, at vi kender vinklen v og hypotenusen, og vi vil gerne finde længden på den katete, der er hosliggende til v. Vi har en trekant, hvor vinkel v er 35 grader og hypotenusen er 11.
Vi får dermed denne ligning:
Vi isolerer x i ligningen:
Altså er den hosliggende katete til vinklen v 9,01.
Til sidst kan det være, at man kender den hosliggende katete og hypotenusen, og man vil gerne finde vinklen. Vi forestiller os en trekant, hvor den hosliggende katete er 9, og hypotenusen er 15.
Disse tal sætter vi ind i formlen:
For at finde vinklen skal vi tage cos⁻¹ på begge sider af lighedstegnet:
Vinklen v er dermed 53,13 grader.
Opsummering: Hvis du skal bruge cosinus, skal du altså kende to af følgende: en spids vinkel, den hosliggende katete og hypotenusen, og du skal ønske at finde den tredje.
Generelt lyder formlerne for cosinus:
Hvordan beregner man tangens?
Nu vil vi gennemgå eksempler, hvor man bruger tangens til at finde vinkler og sidelængder.
Vi har en retvinklet trekant, hvor ene spidse vinkel v er 35 grader, og den modstående katete til v har en længde på 14. Vi vil gerne finde længden af den hosliggende katete til v, som vi kalder x.
Vi skal bruge tangens, fordi tangens til en vinkel svarer til forholdet mellem den modstående katete og hosliggende katete i en retvinklet trekant.
Når vi sætter tallene ind i formlen, får vi denne ligning:
Vi isolerer x i ligningen:
Den hosliggende katete har dermed en længde på 19,99.
Vi tager også et eksempel, hvor vi i stedet skal finde den modstående katete. Vinkel v er 70 grader, og den hosliggende katete er 9,5.
Vores ligning lyder derfor:
Vi isolerer x i ligningen:
Den modstående katete har dermed en længde på 26,1.
Nu mangler vi naturligvis et eksempel, hvor vi kender de to kateter, og vi vil gerne finde vinklen v. Vi har en trekant, hvor den modstående katete til v er 8, og den hosliggende katete til v 20.
Vi sætter tallene ind i formlen:
For at finde vinklen skal vi tage tan⁻¹ på begge sider af lighedstegnet:
Vinklen v er dermed 21,8 grader.
Opsummering: Hvis du skal bruge tangens, skal du altså kende to af følgende: en spids vinkel, den hosliggende katete og den modstående katete, og du skal ønske at finde den tredje.
Generelt lyder formlerne for tangens:
Bevis for sinus, cosinus og tangens i retvinklede trekanter
Vi kan bevise formlerne for tangens, sinus og cosinus i retvinklede trekanter. Til det skal vi kende til ensvinklede trekanter. At to trekanter er ensvinklede betyder, at deres vinkler er parvist lige store og derfor har samme form, men i forskelligt størrelsesforhold. Dette størrelsesforhold beregnes ved hjælp af forstørrelsesfaktoren k, som dividerer siderne parvist og derved enten forstørrer eller formindsker den anden trekant.
To sider, der ligger over for lige store vinkler, kaldes ensliggende. Man kan også sige, at to ensliggende sider er proportionale. I dette tilfælde er a og d ensliggende, b og e er ensliggende, og c og f er ensliggende.
Forstørrelsesfaktoren er som nævnt forholdet mellem de ensliggende sider, så formlen for k er:
Vi vil nu finde formlerne for tangens, sinus og cosinus ved hjælp af enhedscirklen og vores kendskab til ensvinklede trekanter. Enhedscirklen er en cirkel, som har centrum i punktet (0,0) i et koordinatsystem, og som har en radius på 1, dvs. at afstanden fra centrum til cirklens periferi er 1. Når radiussen rammer retningspunktet Pv og går vinkelret ned på x-aksen, danner det en retvinklet trekant, som vi kalder ∆APQ (for at vise, at trekantens vinkler hedder A, P og Q).
Definitionerne på cosinus og sinus er, at cosinus til vinkel A er x-koordinaten indtil retningspunktet Pv, og sinus til vinkel A er y-koordinaten indtil retningspunktet Pv.
I trekanten ∆APQ kalder vi derfor siderne for cos(A) og sin(A).
Nu tegner vi en trekant ∆ABC, hvor vinkel A også rammer (0,0) i koordinatsystemet. Det betyder, at ∆ABC og ∆APQ er ensvinklede, så deres sider er ensliggende.
Fordi siderne er ensliggende, har de samme form i forskelligt størrelsesforhold, som vi så før. Forholdet mellem de to trekanters sider kan derfor vises sådan:
I denne formel er sidelængderne opkaldt efter vinklerne, så fx går sidelængden AP mellem vinklerne A og P. Men i vores første trekant ∆APQ havde vi bestemt, at sidelængderne hed sin(A), cos(A) og 1. I trekant ∆ABC kalder vi siderne a, b og c. Disse sætter vi ind i formlen:
Først vil vi finde formlen for sinus. Det er unødigt at have tre lige store værdier i vores ligning, så for at finde sinus skal vi se på disse værdier af ligningen:
Nu vil vi isolere sin(A) i ligningen. Vi ganger a ind på hvert led, hvilket vi gør ved at gange op i tælleren.
På venstre side af lighedstegnet går a og a ud med hinanden. På højre side af lighedstegnet giver a gange 1 bare a. Det giver os denne formel for sinus:
Vi gør det samme for at finde formlen for cosinus. Her skal vi bare isolere cos(A) i ligningen ved at gange b ind på hvert led:
Man bruger altså enhedscirklen til at definere sinus og cosinus, men man definerer tangens ud fra formlerne for sinus og cosinus. Det skriver vi således:
Når vi skal dividere to brøker med hinanden, lyder regnereglen, at man lader første brøk stå, og så ganger man med den omvendte brøk, som vist her:
Når man ganger to brøker sammen, ganger man tæller med tæller og nævner med nævner.
c’erne går ud med hinanden, og sådan har vi fundet formlen for tangens:
Altså har vi bevist de tre formler for tangens, sinus og cosinus:
Hvad bruger man sinusrelationerne til?
Indtil videre har vi set, hvordan man kan bruge de trigonometriske funktioner sinus, cosinus og tangens til at bestemme sider og vinkler i en retvinklet trekant. Hvis man derimod vil finde sider og vinkler i en trekant, som ikke er retvinklet, kan man bruge sinusrelationerne (og cosinusrelationerne, som vi gennemgår i næste afsnit).
Sinusrelationerne viser forholdet mellem en side og den vinkel, der står overfor. Formlen for sinusrelationerne er derfor:
… eller:
For at bruge sinusrelationerne skal man kende mindst to sider og en vinkel eller to vinkler og en side. Én side og én vinkel skal dog stå overfor hinanden, så man skal enten kende både a og A, b og B eller c og C.
Vi tager et eksempel, hvor vi kender en side og to vinkler, som vist på denne trekant:
Vi vil gerne finde a, så vores ligning ser sådan her ud:
Vi isolerer a i ligningen.
Sådan har vi beregnet, at a er 4,08.
Vi tager også et eksempel, hvor vi skal finde en vinkel. Vi kender disse størrelser:
Vi vil finde C.
Vi starter med at isolere sin(C) i ligningen:
Dernæst isolerer vi C i ligningen:
Vinklen C er 48,59 grader.
Hvad bruger man cosinusrelationerne til?
Som nævnt kan cosinusrelationerne også bruges til at beregne vinkler og sider i trekanter, der ikke behøver at være retvinklede.
Alt efter hvilken vinkel man skal finde, ser formlen for cosinusrelationerne sådan ud:
Hvis man i stedet skal finde en side, kan man omskrive formlerne for cosinusrelationerne således:
For at bruge cosinusrelationerne skal man kende mindst to sider og den vinkel, der ligger mellem de to sider, for at finde den side, der ligger over for vinklen, eller også skal man kende alle tre sider for at finde enhver vinkel.
Vi tager et eksempel, hvor vi kender to sider og en vinkel, som vist på denne trekant:
Vi ønsker at finde b.
Vi isolerer b i ligningen ved at tage kvadratroden på begge sider af lighedstegnet:
Altså er b 6,08.
Vi tager også et eksempel, hvor vi skal finde en vinkel. Her skal vi kende de tre sider, som vist her:
Vi ønsker at finde A.
Vi isolerer A ved tage cos⁻¹ på begge sider af lighedstegnet:
Sådan har vi beregnet vinkel A til at være 82,82 grader.
Bevis for sinusrelationerne
Hvorfor ser formlen for sinusrelationerne ud, som den gør? Det vil vi nu bevise.
Formlen for sinusrelationerne er:
For at bevise denne formel tegner vi en trekant med vinklerne A, B og C samt siderne a, b og c. Højden h tegnes fra B til grundlinjen i punktet, som vi kalder D. Dermed får vi den retvinklede trekant ∆ABD.
Det gælder for sinus, at sinus til en vinkel er lig med den modstående katete divideret med hypotenusen.
Vi sætter vinkel A, den modstående katete (som er h) og hypotenusen (som er c) ind i formlen for sinus:
Vi isolerer h i ligningen for at finde en værdi for højden:
Nu vil vi bestemme arealet T af hele trekanten ∆ABC. Formlen for arealet af en trekant er:
Vores grundlinje i ∆ABC hedder b, og før fandt vi, at højden var c*sin(A), så disse værdier sætter vi ind i formlen for arealet af en trekant:
Vi kunne også have valgt, at højden skulle gå fra vinklen A vinkelret ned på grundlinjen a, eller at højden skulle gå fra vinklen C vinkelret ned på grundlinjen c, som vist på disse billeder:
I disse tilfælde ville formlerne for arealet af ∆ABC være:
Arealet af ∆ABC kan dermed findes på tre forskellige måder, som vi kan sættes lig hinanden:
Disse ganger vi nu med 2 på hvert led, så 1/2 går ud:
Derefter dividerer vi hvert led med abc:
bc og bc går ud med hinanden, ac og ac går ud med hinanden, og ab og ab går ud med hinanden. Det efterlader os med formlen:
Sådan har vi bevist formlen for sinusrelationerne.
Bevis for cosinusrelationerne
Som vi har set, kan formlen for cosinusrelationerne se ud på forskellige måder, alt efter hvilken vinkel eller side, man ønsker at finde. Men de beskriver alle det samme forhold mellem siderne og vinklerne i en trekant.
I vores bevis vælger vi at tage udgangspunkt i denne version af formlen for cosinusrelationerne:
Vi beviser denne formel ved at tegne en spidsvinklet trekant med vinklerne A, B og C samt siderne a, b og c. Højden h tegnes fra B til grundlinjen i punktet, som vi kalder D. Længden af AD kalder vi x, så længden af DC bliver derfor b minus x.
Begge trekanter er retvinklede, så vi kan bruge Pythagoras’ sætning (a² + b² = c²) til at opstille formler. For den ene trekant ∆BCD gælder følgende ligning:
Vi vil gerne omskrive (b - x)², så vi får fjernet parentesen. Til det kan vi bruge en kvadratsætning, hvor vi ganger hvert led med hinanden – dvs. vi ganger b med b, -x med -x, b med -x og -x med b, som vist her:
Vi kan derfor omskrive vores formel for trekant ∆BCD til:
For den anden trekant ∆ABD gælder følgende ligning:
Nu trækker vi denne ligning fra den første ligning. Det gør vi at trække det, der står på venstre side af lighedstegnet, fra hinanden og det, der står står på højre side af lighedstegnet, fra hinanden:
Vi vil gerne ophæve parentesen. Det er en minusparentes, så vi husker at ændre fortegnene inde i parentesen:
Ledene h² og -h² går ud med hinanden, og det samme gør x² og -x²:
Nu flytter vi -2bx over på højre side af lighedstegnet ved at ændre fortegnet fra minus til plus:
Vi flytter -c² og a² over på venstre side ved at ændre fortegnene:
Som nævnt er cosinus til en vinkel den hosliggende katete divideret med hypotenusen. I ∆ABD vil de svare til:
Hvis vi isolerer x i ligningen bliver det:
Når vi kender værdien for x, kan vi sætte det ind på x’s plads i vores ligning fra før:
Til sidst isolerer vi cos(A) i ligningen:
Sådan har vi bevist formlen for cosinusrelationerne.
Forskel på cosinus- og sinusrelationerne
Vi har nu gennemgået både sinusrelationerne og cosinusrelationer, men hvis du ikke har helt styr på, hvornår du skal bruge den ene, og hvornår skal du bruge den anden, giver vi en oversigt her.
Det er nemmest at bruge sinusrelationerne, hvis du kender tre og vil finde den fjerde i disse kombinationer:
a, b, A, B
a, c, A, C
b, c, B, C
Altså hvis du fx kender A, B og a og vil finde b.
Det er nemmest at bruge cosinusrelationerne, hvis:
Du kender a, b og C og vil finde c
Du kender a, c og B og vil finde b
Du kender b, c og A og vil finde a
Du kender a, b og c og vil finde hvilken som helst vinkel
Bemærk, at du kan beregne vinklerne, hvis du kender siderne, men du kan ikke beregne siderne, hvis du kun kender vinklerne. Som vi har set tidligere i dette indlæg, kan trekanter være ensvinklede – dvs. at deres vinkler er parvist lige store – og trekanterne har derfor samme form, men i forskelligt størrelsesforhold. Man kan derfor ikke vide, hvor store siderne skal være.
Opsummering
Man bruger trigonometri til at beregne vinklerne og siderne i en trekant. Hvis trekanten er retvinklet, behøver du kun at kende to sider eller én vinkel og én side. Vinklen, som du skal kende, kan ikke bare være den rette vinkel på 90 grader.
Når du kender eller skal finde den ene spidse vinkel i en retvinklet trekant, skal du enten bruge:
Sinus (hvis du har at gøre med den modstående katete og hypotenusen)
Cosinus (hvis du har at gøre med den hosliggende katete og hypotenusen)
Tangens (hvis du har at gøre med den modstående katete og den hosliggende katete)
Hvis trekanten ikke er retvinklet, skal du bruge sinusrelationerne eller cosinusrelationerne. Her skal du kende mindst tre størrelser (som ikke må være tre vinkler).
Du skal altså enten kende:
To sider og en vinkel
To vinkler og en side
Tre sider
Hvis du kender to sider og en vinkel, skal du bruge sinusrelationerne, hvis vinklen står over for en af de to sider, og du skal bruge cosinusrelationerne, hvis vinklen ligger mellem de to sider, og du vil finde den sidste side.
Hvis du kender to vinkler og en side, skal du bruge sinusrelationerne. Husk, at hvis du kender to vinkler, kender du også den tredje, for vinkelsummen i enhver trekant er altid 180 grader. Så hvis du fx har to vinkler på hhv. 75 og 60 grader, er den tredje vinkel 45 grader, fordi 180 - 75 - 60 = 45.
Hvis du kender alle tre sider, skal du bruge cosinusrelationerne.