I dette indlæg kan du lære om vinkler. Vi forklarer, hvad en vinkel er, hvilke slags vinkler der findes, hvad man kan kalde sine vinkler, og hvordan man måler en vinkel.
Vi kommer ind på disse afsnit:
Vinkler i matematik
Hvad hedder de forskellige vinkler?
Hvad er ensliggende vinkler?
Hvad er topvinkler?
Hvad er nabovinkler?
Vinkler i en trekant
Vinkler i en firkant
Kan en vinkel være over 180 grader?
Kan en vinkel være negativ?
Hvordan måler jeg en vinkel?
Hvis du mangler hjælp til at følge godt med i matematiktimerne, står GoTutor klar med en hjælpende hånd i form af lektiehjælp i matematik.
Vinkler i matematik
En vinkel dannes mellem to rette linjer, der rører hinanden i samme punkt (kaldet toppunktet). Her kan du se eksempler på forskellige vinkler:
De to linjer, som danner en vinkel, kaldes vinklens ben, og man markerer en vinkel ved at tegne en lille bue mellem vinklens ben, bortset fra hvis vinklen er ret – så tegner man to lige linjer, så det ligner en lille firkant, som ved den blå vinkel ovenfor (vi forklarer nedenfor, hvad det vil sige, at en vinkel er ret). På den måde kan man altid vise, at en vinkel skal forestille at være ret, selv hvis man ikke har tegnet helt lige linjer på fx sit papir eller en tavle.
Hvad hedder de forskellige vinkler?
Som du nok kan se, har vinklerne forskellige størrelser. Man måler en vinkels størrelse i grader, og det skriver man med symbolet ° (et gradtegn). Man kalder vinklerne forskellige navne, alt efter hvor stor vinklen er:
Hvis en vinkel er mellem 0° og 90°, kaldes det en spids vinkel
Hvis en vinkel er præcis 90°, kaldes det en ret vinkel
Hvis en vinkel er mellem 90° og 180°, kaldes det en stump vinkel
Hvorfor lige disse tal? Vinkelsummen (alle vinkler lagt sammen) i en cirkel er 360°. Man har valgt dette tal, fordi det nemt kan divideres med de fleste små tal og stadig give et helt tal:
360/2 = 180
360/3 = 120
360/4 = 90
360/5 = 72
360/6 = 60
360/8 = 45
360/9 = 40
360/10 = 36
Vi har inddelt denne cirkel i fire dele med fire rette vinkler:
Man har derfor bestemt, at en ret vinkel skal svare til 90°.
Hvad er ensliggende vinkler?
Ensliggende vinkler er vinkler, der er lige store og ligger forskudt af hinanden. Se dette billede, hvor vi har tegnet to parallelle linjer, som er krydset af en tredje:
Her er vinklerne v og w ensliggende.
Hvad er topvinkler?
Topvinkler er to vinkler, der ligger overfor hinanden, når to linjer krydses. Se dette billede:
Her er vinklerne v og w topvinkler.
Fordi topvinkler er lige store, kan man godt komme ud for opgaver, hvor vinklerne er betegnet med samme bogstav. Her handler det ikke om skelne mellem de to vinkler, men derimod netop at fremhæve, at de to vinkler er lige store.
Hvad er nabovinkler?
Nabovinkler er to vinkler, der tilsammen udgør 180°. Se dette billede:
Her er vinklerne v og w nabovinkler. Nabovinkler kaldes også supplementvinkler.
Det minder om komplementvinkler, der er to vinkler, som tilsammen udgør 90°, som på dette billede:
Vinkler i en trekant
En trekant er en figur, som består af tre sider og tre vinkler. Vinkelsummen i en trekant er altid 180°. Hvis en trekant har en ret vinkel (90°), kaldes det en retvinklet trekant. Hvis en trekant har en stump vinkel, kaldes det en stumpvinklet trekant. Hvis en trekant kun har spidse vinkler, kaldes det en spidsvinklet trekant.
Læg mærke til, at en trekant ikke kan have mere end én ret vinkel. Se her, hvor vi har tegnet to rette vinkler:
De to linjer ude i siderne ligger parallelt med hinanden, hvilket betyder, at de aldrig vil mødes i samme punkt og dermed aldrig danne en vinkel.
På samme måde kan en trekant heller ikke have mere end én stump vinkel, fordi de andre sider heller aldrig vil mødes i samme punkt, som vist her:
Som nævnt er vinkelsummen i en trekant altid 180°. Man kan derfor beregne, at der ikke er plads til en tredje vinkel, hvis to af vinklerne er 90° eller mere.
Når man har en trekant og skal henvise til en bestemt vinkel, er det en god idé at give vinklerne navne. Man giver som regel vinklerne store bogstaver og siderne tilsvarende små bogstaver, og så skal vinklen og siden med samme bogstav stå modsat hinanden, som vist på dette billede:
Her har vi kaldt vinklerne for A, B og C. Hvis vi helt præcist vil vise, at det er vinkler, vi taler om, skriver vi ∠A, ∠B og ∠C (tegnet ∠ er et vinkeltegn).
Nu har vi kaldt siderne for a, b og c, men man kunne også have valgt at opkalde dem efter vinklerne ved at kalde dem AB, AC og BC. Det skal forstås sådan, at sidelængden fx ligger siden AB mellem vinklerne A og B.
Man opkalder også trekanten efter vinklerne ved at skrive en lille trekant foran således: △ABC. Vi kan fx nemt referere til de to trekanter nedenfor ved at kalde dem henholdsvis △ABC og △XYZ.
Man kan også tegne vinkler inde i trekanten, så man har at gøre med flere vinkler end bare de tre hjørner. Her har vi fx tegnet en trekant △ABC med endepunktet D:
Nu kan man godt blive forvirret omkring størrelsen på ∠B, for nu går der er stiplet linje igennem, så der egentlig er tre vinkler omkring endepunktet B, som vist her:
Den vinkel, som vi før kaldte ∠B, og som vi nu har farvet blå, kan vi kalde ∠ABC for at tydeliggøre, at vi altså taler om vinklen mellem de to sider, der har henholdsvis punkt A og punkt C som endepunkter. På samme måde kan man kalde den lyserøde vinkel for ∠ABD og den gule vinkel for ∠CBD.
Det midterste bogstav viser dermed, hvilket hjørne vinklen rammer, mens bogstaverne på hver side viser endepunkterne på vinklens ben.
Den stiplede linje danner naturligvis også to vinkler nede ved D:
På samme måde kan vi kalde disse vinkler for ∠ADB og ∠BDC.
Hvis man tegner en linje inde i trekanten, der danner to rette vinkler med en af sidelængderne, siger man, at linjen går vinkelret ned på sidelængden.
I ovenstående eksempel siger vi, at den stiplede linje går vinkelret ned på grundlinjen AC.
Vinkler i en firkant
En firkant er en figur, som består af fire sider og fire vinkler. Vinkelsummen i en firkant er altid 360°. Det gælder, uanset hvilken slags firkant det er. Firkanter kan både have spidse, stumme og rette vinkler.
Vinklerne har betydning for, hvad der adskiller de forskellige slags firkanter fra hinanden. Alle fire vinkler i en firkant skal være rette, for at firkanten kan kaldes et rektangel.
Det kan du læse meget mere om i vores indlæg om firkanter.
Kan en vinkel være over 180 grader?
Ja, en vinkel kan godt være over 180°. Se her, hvordan et toppunkt egentlig danner to vinkler:
Vi kan se, at vinklen v er en stump vinkel på en størrelse mellem 90° og 180°, så w må være mere end 180°. Lad os sige, at v har en størrelse på 150°. Vi kan beregne størrelsen på w ved at trække v fra 360, som er vinkelsummen for en cirkel:
360 - 150 = 210
Vinklen w er dermed 210°.
Vi kan også have et toppunkt med en spids vinkel og en endnu større vinkel:
En vinkel på præcis 180° kaldes en lige vinkel, og en vinkel over 180° kaldes en konveks vinkel. Som vi har set, kan man ikke finde hverken lige eller konvekse vinkler i trekanter eller firkanter. I andre sammenhænge giver det heller ikke mening at tale om konvekse vinkler, hvis man skal bruge den mindste vinkel i samme toppunkt (fx kan man ved en vinkel både måle en størrelse på 60° og på 300°, alt efter om man måler den ene eller den anden retning). Dog er der tilfælde, hvor det har betydning, hvilken retning man måler vinklen i.
Kan en vinkel være negativ?
Ja, en vinkel kan godt være negativ. Når man bevæger sig mod uret, er vinklen positiv, og når man bevæger sig med uret, er vinklen negativ.
I figurer som trekanter og firkanter er det dog lige meget, om man måler den ene eller den anden vej, for her kan man kun tale om positive vinkler.
Hvordan måler jeg en vinkel?
Man kan måle en vinkel i hånden. Til det skal man bruge en vinkelmåler. Her placerer man krydset på vinkelmåleren oven på vinklens toppunkt og den ene side af vinkelmåleren oven på vinklens ene ben. Man aflæser vinklens størrelse ud fra det tal, hvor det andet ben rammer.
Din vinkelmåler vil sikkert vise to tal over hinanden, fx 30 og 150. Man behøver nemlig ikke at tænke over, om man har placeret sin vinkelmåler på vinklens venstre eller højre ben. Hvis du måler en spids vinkel, er tallet mindre end 90, og hvis du måler en stump vinkel, er tallet større end 90.
Hvis du har matematik på et højere niveau, kan du også blive bedt om at beregne størrelsen på en vinkel. Det vil altid være mere præcist end selv at måle den.
Det kan fx være, at du kender to af siderne i en retvinklet trekant og skal beregne størrelsen på en af de spidse vinkler. Så skal du bruge en af de funktioner, der hedder tangens, sinus og cosinus – men det forklarer vi i vores indlæg om trigonometri.