En guide til vinkler i matematik

I dette indlæg kan du lære om vinkler. Vi forklarer, hvad en vinkel er, hvilke slags vinkler der findes, hvad man kan kalde sine vinkler, og hvordan man måler en vinkel.

Vi kommer ind på disse afsnit:

• Vinkler i matematik

• Hvad hedder de forskellige vinkler?

• Vinkler i en trekant

• Vinkler i en firkant

• Hvordan måler jeg en vinkel?

Hvis du mangler hjælp til at følge godt med i matematiktimerne, står GoTutor klar med en hjælpende hånd i form af lektiehjælp i matematik.

Vinkler i matematik

En vinkel dannes mellem to rette linjer, der rører hinanden i samme punkt (kaldet toppunktet). Her kan du se eksempler på forskellige vinkler:

De to linjer, som danner en vinkel, kaldes vinklens ben, og man markerer en vinkel ved at tegne en lille bue mellem vinklens ben, bortset fra hvis vinklen er ret – så tegner man to lige linjer, så det ligner en lille firkant, som ved den blå vinkel ovenfor (vi forklarer nedenfor, hvad det vil sige, at en vinkel er ret). På den måde kan man altid vise, at en vinkel skal forestille at være ret, selv hvis man ikke har tegnet helt lige linjer på fx sit papir eller en tavle.

Hvad hedder de forskellige vinkler?

Som du nok kan se, har vinklerne forskellige størrelser. Man måler en vinkels størrelse i grader, og det skriver man med symbolet ° (et gradtegn). Man kalder vinklerne forskellige navne, alt efter hvor stor vinklen er:

• Hvis en vinkel er mellem 0° og 90°, kaldes det en spids vinkel

• Hvis en vinkel er præcis 90°, kaldes det en ret vinkel

• Hvis en vinkel er mellem 90° og 180°, kaldes det en stump vinkel

Hvorfor lige disse tal? Vinkelsummen (alle vinkler lagt sammen) i en cirkel er 360°. Man har valgt dette tal, fordi det nemt kan divideres med de fleste små tal og stadig give et helt tal:

• 360/2 = 180

• 360/3 = 120

• 360/4 = 90

• 360/5 = 72

• 360/6 = 60

• 360/8 = 45

• 360/9 = 40

• 360/10 = 36

Vi har inddelt denne cirkel i fire dele med fire rette vinkler:

Man har derfor bestemt, at en ret vinkel skal svare til 90°.

Vinkler i en trekant

En trekant er en figur, som består af tre sider og tre vinkler. Vinkelsummen i en trekant er altid 180°. Hvis en trekant har en ret vinkel (90°), kaldes det en retvinklet trekant. Hvis en trekant har en stump vinkel, kaldes det en stumpvinklet trekant. Hvis en trekant kun har spidse vinkler, kaldes det en spidsvinklet trekant.

Læg mærke til, at en trekant ikke kan have mere end én ret vinkel. Se her, hvor vi har tegnet to rette vinkler:

De to linjer ude i siderne ligger parallelt med hinanden, hvilket betyder, at de aldrig vil mødes i samme punkt og dermed aldrig danne en vinkel.

På samme måde kan en trekant heller ikke have mere end én stump vinkel, fordi de andre sider heller aldrig vil mødes i samme punkt, som vist her:

Som nævnt er vinkelsummen i en trekant altid 180°. Man kan derfor beregne, at der ikke er plads til en tredje vinkel, hvis to af vinklerne er 90° eller mere.

Når man har en trekant og skal henvise til en bestemt vinkel, er det en god idé at give vinklerne navne. Man giver som regel vinklerne store bogstaver og siderne tilsvarende små bogstaver, og så skal vinklen og siden med samme bogstav stå modsat hinanden, som vist på dette billede:

Her har vi kaldt vinklerne for A, B og C. Hvis vi helt præcist vil vise, at det er vinkler, vi taler om, skriver vi ∠A, ∠B og ∠C (tegnet ∠ er et vinkeltegn).

Nu har vi kaldt siderne for a, b og c, men man kunne også have valgt at opkalde dem efter vinklerne ved at kalde dem AB, AC og BC. Det skal forstås sådan, at sidelængden AB fx ligger mellem vinklerne A og B.

Man opkalder også trekanten efter vinklerne ved at skrive en lille trekant foran således: △ABC. Vi kan fx nemt referere til de to trekanter nedenfor ved at kalde dem henholdsvis △ABC og △XYZ.

Man kan også tegne vinkler inde i trekanten, så man har at gøre med flere vinkler end bare de tre hjørner. Her har vi fx tegnet en trekant △ABC med endepunktet D:

Nu kan man godt blive forvirret omkring størrelsen på ∠B, for nu går der er stiplet linje igennem, så der egentlig er tre vinkler omkring endepunktet B, som vist her:

Den vinkel, som vi før kaldte ∠B, og som vi nu har farvet blå, kan vi kalde ∠ABC for at tydeliggøre, at vi altså taler om vinklen mellem de to sider, der har henholdsvis punkt A og punkt C som endepunkter. På samme måde kan man kalde den lyserøde vinkel for ∠ABD og den gule vinkel for ∠CBD.

Det midterste bogstav viser dermed, hvilket hjørne vinklen rammer, men bogstaverne på hver side viser endepunkterne på vinklens ben.

Den stiplede linje danner naturligvis også to vinkler nede ved D:

På samme måde kan vi kalde disse vinkler for ∠ADB og ∠BDC.

Hvis man tegner en linje inde i trekanten, der danner to rette vinkler med en af sidelængderne, siger man, at linjen går vinkelret ned på sidelængden.

I ovenstående eksempel siger vi, at den stiplede linje går vinkelret ned på grundlinjen AC.

Vinkler i en firkant

En firkant er en figur, som består af fire sider og fire vinkler. Vinkelsummen i en firkant er altid 360°. Det gælder, uanset hvilken slags firkant det er. Firkanter kan både have spidse, stumme og rette vinkler.

Vinklerne har betydning for, hvad der adskiller de forskellige slags firkanter fra hinanden. Alle fire vinkler i en firkant skal være rette, for at firkanten kan kaldes et rektangel.

Det kan du læse meget mere om i vores indlæg om firkanter.

Hvordan måler jeg en vinkel?

Man kan måle en vinkel i hånden. Til det skal man bruge en vinkelmåler. Her placerer man krydset på vinkelmåleren oven på vinklens toppunkt og den ene side af vinkelmåleren oven på vinklens ene ben. Man aflæser vinklens størrelse ud fra det tal, hvor det andet ben rammer.

Din vinkelmåler vil sikkert vise to tal over hinanden, fx 30 og 150. Man behøver nemlig ikke at tænke over, om man har placeret sin vinkelmåler på vinklens venstre eller højre ben. Hvis du måler en spids vinkel, er tallet mindre end 90, og hvis du måler en stump vinkel, er tallet større end 90.

Hvis du har matematik på et højere niveau, kan du også blive bedt om at beregne størrelsen på en vinkel. Det vil altid være mere præcist end selv at måle den.

Det kan fx være, at du kender to af siderne i en retvinklet trekant og skal beregne størrelsen på en af de spidse vinkler. Så skal du bruge en af de funktioner, der hedder tangens, sinus og cosinus – men det forklarer vi i vores indlæg om trigonometri.