I dette indlæg kan du lære om linjens ligning og parameterfremstilling, hvor vi både introducerer de relevante begreber, gennemgår de forskellige beregninger og giver konkrete eksempler.
Vi kommer ind på:
Hvad er linjens ligning?
Hvordan finder man linjens ligning ud fra en vektor og et punkt?
Hvordan finder man hældningskoefficienten og skæringen ud fra linjens ligning?
Hvordan finder man hældningsvinklen?
Hvordan finder man skæringspunktet mellem to linjer?
Hvordan finder man vinklen mellem to linjer?
Hvordan bestemmer man om to linjer er ortogonale?
Hvad er linjens parameterfremstilling?
Hvordan finder man linjens parameterfremstilling ud fra to punkter?
Hvordan finder man linjens ligning ud fra parameterfremstillingen?
Hvordan finder man parameterfremstillingen ud fra linjens ligning?
Hvis du mangler hjælp til lektierne og afleveringerne i matematik, tilbyder GoTutor lektiehjælp i matematik med søde og dygtige lektiehjælpere.
Hvad er linjens ligning?
Linjens ligning er en beskrivelse af en ret linje i et koordinatsystem, der har denne form:
y = ax + b
a er hældningskoefficienten. Den viser, hvor meget linjen hælder. Hvis a > 0, er hældningen stigende. Hvis a < 0, er hældningen faldende. Hvis a = 0, er hældningen vandret.
b viser, hvor linjen skærer y-aksen.
Det er altså de samme variable, der er på spil, som i en lineær funktion, men her er vi ikke så interesserede i de enkelte variable, men derimod ligningen som helhed og de forskellige måder, hvorpå vi kan finde frem til den.
Hvordan finder man linjens ligning ud fra en vektor og et punkt?
Linjens ligning kan også skrives på denne måde:
a(x - x0) + b(y - y0) = 0
Her er (x0, y0) et kendt punkt på linjen, og (a, b) er koordinaterne til en normalvektor n, som er en vektor, der står vinkelret på linjen.
Vi kan omskrive linjens ligning på denne måde:
ax + by + c = 0
(Først ganger vi ind i parentesen, og så samler vi konstanterne ax0 og by0 til én konstant c.)
Hvis man har koordinaterne til punktet P0 og koordinaterne til en normalvektor n, kan man beregne ligningen for linjen l.
Lad os beregne et eksempel, hvor vi har denne normalvektor og dette punkt:
Vi sætter koordinaterne ind i linjens ligning:
4(x - 1) + (-2)(y - 5) = 0
4x - 4 - 2y + 10 = 0
4x - 2y + 6 = 0
Bemærk, at ligningen nu har samme form som den, vi omskrev ovenfor. Men for at få den form, som vi introducerede helt i starten, skal vi isolere y:
4x - 2y + 6 = 0
2y = 4x + 6
y = 2x + 3
Sådan har vi beregnet linjens ligning.
Hvordan finder man hældningskoefficienten og skæringen ud fra linjens ligning?
Som nævnt svarer hældningskoefficienten til a og skæringen til b i denne ligning:
y = ax + b
Men linjens ligning kan også være givet ud fra et punkt og en normalvektor, så ligningen har denne form:
ax + by + c = 0
Ved at isolere y kan vi aflæse vores a- og b-værdier.
Eksempel: Vi har denne ligning for en linje:
-6x + 2y - 16 = 0
Vi isolerer y:
2y = 6x + 16
y = 3x + 8
Nu kan vi aflæse, at a (hældningskoefficienten) er 3, og b (skæringen) er 8.
Hvordan finder man hældningsvinklen?
Når man har en ret linje i et koordinatsystem, kan man beregne den vinkel v, som linjen danner med x-aksen. Denne vinkel kaldes hældningsvinklen.
Hældningsvinklen v vil altid være mellem -90° og 90°, fordi v er den mindste vinkel fra x-aksen til linjen. Når man går mod uret fra x-aksen til linjen, vil vinklen være positiv, og når man går med uret fra x-aksen til linjen, vil vinklen være negativ. Se forskellen på dette billede:
De stiplede pile viser, at på billedet til venstre går vi med urets retning fra x-aksen til linjen, og på billedet til højre går vi mod urets retning fra x-aksen til linjen.
Se også, hvad vi mener, når vi skriver, at hældningsvinklen altid er den mindste vinkel:
Den stiplede linje viser ligeledes en vinkel mellem x-aksen og linjen l. Der kan nemlig dannes to vinkler mellem de to linjer, men hældningsvinklen er altså den mindste af de to.
Det gælder for hældningsvinklen v og hældningskoefficienten a, at:
a = tan(v)
v = tan-1(a)
tan er den trigonometriske funktion tangens. tan-1 er den omvendte tangensfunktion.
Lad os beregne et eksempel, hvor vi har en hældningsvinkel v, der er 60°, og vi ønsker at finde hældningskoefficienten a:
a = tan(60) = 1,73
Sådan har vi beregnet a. Lad os i stedet sige, at vi har en hældningskoefficient a, der er 4, og vi ønsker at finde hældningsvinklen v:
v = tan-1(4) = 75,96°
Sådan har vi beregnet v.
Hvordan finder man skæringspunktet mellem to linjer?
Når man har to rette linjer, kan man finde deres skæringspunkt – det vil sige det punkt, hvor linjerne skærer hinanden. Det gør man ved hjælp af de to linjers ligninger.
I punktet, hvor linjerne skærer hinanden, har linjerne samme x- og y-koordinater. Linjernes ligningerne har begge et udtryk for y, så vi sætter disse to udtryk lig hinanden.
Vi kigger på et eksempel, hvor vi har disse to linjer:
y = 4x - 3
y = 2x + 5
Vi sætter de to udtryk for y lig hinanden:
4x - 3 = 2x + 5
Vi finder x-koordinatet for skæringspunktet ved at isolere x:
4x - 3 = 2x + 5
4x - 2x = 5 + 3
2x = 8
x = 4
Nu har vi x-koordinatet, som vi kan sætte ind i en af de to linjers ligninger for at finde y-koordinaten. Det er lige meget, hvilken af de to ligninger man vælger, for resultatet bliver det samme:
y = 4*4 - 3 = 16 - 3 = 13
y = 2*4 + 5 = 8 + 5 = 13
Skæringspunktet har dermed koordinatsættet (4, 13).
Hvordan finder man vinklen mellem to linjer?
Når to rette linjer l og m skærer hinanden, danner de fire vinkler. Vinklerne er parvis lige store, som vist her:
Man betegner typisk parret af de spidse vinkler v og parret af de stumpe vinkler w – men alle fire vinkler kan også være rette, hvis de to linjer går vinkelret på hinanden.
Vinkelsummen af v og w er altid 180°, så hvis man kun kender den ene vinkel, kan man nemt beregne den anden.
Man kan beregne vinklen v mellem to linjer l og m ved hjælp af linjernes hældningsvinkler vl og vm. Det gør man ved at trække den mindste af de to hældningsvinkler fra den største.
Det er vigtigt at huske fortegnet. Som vi har set, kan en vinkel godt være negativ.
Lad os beregne et eksempel. Vi ønsker at finde vinklen mellem disse to linjer:
y = 4x - 3
y = 2x + 5
Vi starter med at beregne de to linjers hældningsvinkler, hvilket vi som vist gør ud fra deres hældningskoefficienter:
vl = tan-1(4) = 75,96°
vm = tan-1(2) = 63,43°
Nu trækker vi den mindste vinkel fra den største:
v = 75,96 - 63,43 = 12,53°
Sådan har vi beregnet vinklen v mellem de to linjer til at være 12,53°. Men som nævnt danner de to linjer fire vinkler, der er parvist lige store – det ene par v og det andet par w. Som nævnt er summen af v og w 180°, så vi kan beregne w ved at trække v fra 180:
w = 180 - 12,53 = 167,47°
Dermed har vi beregnet begge par af vinkler mellem de to linjer: den spidse vinkel v er 12,53°, og den stumpe vinkel w er 167,47°.
Hvordan bestemmer man om to linjer er ortogonale?
To rette linjer l og m er ortogonale, når de står vinkelret på hinanden. Man skriver det på denne måde:
To linjer er ortogonale, hvis man ganger deres hældningskoefficienter sammen og får et resultat på -1.
al*am = -1
Lad os undersøge, om disse to linjer er ortogonale:
y = -4x - 2
y = 0,25x + 2
Vi ganger hældningskoefficienterne al og am sammen:
(-4)*0,25 = -1
Resultatet er -1, så de to linjer er ortogonale (står vinkelret på hinanden).
Hvad er linjens parameterfremstilling?
Når en linje l går gennem punktet Po(x0, y0) og er parallel med vektoren r, beskriver vi linjen ved en parameterfremstilling. En parameterfremstilling fortæller, hvordan et punkt bevæger sig på en linje som funktion af en parameter (som regel betegnet t).
Man kalder vektoren r en retningsvektor for linjen l. En retningsvektor ligger parallelt med linjen.
Man kan bestemme, om et givent punkt (x, y) ligger på linjen ud fra linjens parameterfremstilling:
Som nævnt er (x0, y0) et bestemt punkt på linjen, t er parameteren, og (r1, r2) er retningsvektorens koordinatsæt.
Vi kigger på et eksempel, hvor vi skal bestemme linjens parameterfremstilling ud fra denne retningsvektor og dette punkt:
Vi skal blot indsætte disse værdier i en parameterfremstilling:
Hvordan finder man linjens parameterfremstilling ud fra to punkter?
Det kan også være, at man kender to punkter P(x1, y1) og Q(x2, y2) på linjen. Så kan man tegne en retningsvektor mellem de to punkter og dermed bestemme linjens parameterfremstilling.
En vektor er kun bestemt ud fra dens længde og retning – dens placering i koordinatsystemet er ligegyldig.
Man finder retningvektorens koordinater ved at trække dem fra hinanden:
Lad os tage et eksempel, hvor vi har punkterne P(3, -3) og Q(5, 6):
Disse koordinater kan vi sætte ind i linjens parameterfremstilling sammen med koordinatsættet for punkt P:
Hvordan finder man linjens ligning ud fra parameterfremstillingen?
Man kan finde linjens ligning ud fra parameterfremstilling ved hjælp af en normalvektor og et punkt på linjen.
Det kan dog være, at man er givet en retningsvektor, men så kan man finde en normalvektor ud fra retningsvektoren. Som nævnt er en normalvektor en vektor, der står vinkelret på linjen, mens en retningsvektor ligger parallelt med linjen og kan dermed også ligge på linjen. En retningsvektor skal dermed roteres 90°, hvilket svarer til at finde en tværvektor til retningsvektoren, og så får man en normalvektor:
Vi kigger på et eksempel, hvor vi har denne parameterfremstilling:
Det betyder, at punktet har koordinaterne (8, 5), og retningsvektoren har koordinaterne (1, 7). I vores indlæg om vektorer har vi lært, at man finder en tværvektor ved at bytte om på x- og y-koordinaterne og sætte minus foran y-koordinaten (hvis der allerede står minus, bliver det selvfølgelig til plus):
Nu har vi alle værdier, og dem sætter vi ind i linjens ligning:
(-7)(x - 8) + 1(y - 5) = 0
-7x + 56 + y - 5 = 0
-7x + y + 51 = 0
Sådan har vi fundet frem til linjens ligning ud fra dens parameterfremstilling.
Hvordan finder man parameterfremstillingen ud fra linjens ligning?
Man kan finde parameterfremstillingen ud fra linjens ligning ved hjælp af en retningsvektor og et punkt på linjen.
Lad os sige, at vi har denne ligning for en linje:
5x + 7y + 21 = 0
Og vi har denne retningsvektor:
Vi vælger et punkt på linjen, hvor x-koordinaten er 0. Når vi sætter 0 ind på x’s plads i ligningen, finder vi y-koordinaten:
5*0 + 7y + 21 = 0
7y + 21 = 0
7y = -21
y = -3
Punktet har dermed koordinatsættet (0, -3). Det betyder, at linjen har denne parameterfremstilling:
Igen kan det dog være, at man er givet en normalvektor i stedet for en retningsvektor. Også her kan man finde en retningsvektor ved at tage tværvektoren til en normalvektor, som vi så ovenfor. Det gælder altså både, at:
