Lær om tal. talsystemer og store tal

Vi bruger tal, når vi skal tælle, måle og beregne noget. Tallet angiver det antal eller den mængde, som man har optalt, målt eller beregnet. Tal er altså det mest grundlæggende inden for matematik.

I dette indlæg har vi samlet nogle punkter, der er værd at vide om tal:

• Hvilke slags tal findes der?

• Det arabiske talsystem (titalssystemet)

• Store tal

• Det binære talsystem (totalssystemet)

• Andre positionelle talsystemer

• Romertal

Hvilke slags tal findes der?

De mest grundlæggende tal er de naturlige tal: 1, 2, 3… osv., som vi betegner med symbolet N. Hvis vi tager 0 med, betegner vi det N₀.

Disse tal er også hele tal, som vi betegner med symbolet Z, og som også inkluderer de negative, hele tal: … -3, -2, -1.

De hele tal kan opdeles i to slags: lige tal og ulige tal. Lige tal kan deles med 2 og stadig give et helt tal. Det kan ulige tal ikke. Ulige tal er alle hele tal, der ender på 1, 3, 5, 7 eller 9, og lige tal er alle hele tal, der ender på 2, 4, 6, 8 eller 0 (på nær tallet 0 selv, som hverken er lige eller ulige).

Udvider vi de hele tal med brøker (både positive og negative), kalder vi denne gruppering for rationale tal, som vi betegner med symbolet Q. Nogle brøker kan desuden omskrives til decimaltal, hvor det er muligt at skrive alle decimalerne, og disse betegner vi med symbolet D. Andre decimaltal fortsætter i det uendelige, og disse tal kaldes irrationale tal. Fx er pi og Eulers tal irrationale tal. Irrationale tal kan dermed ikke skrives som en brøk.

Tilsammen udgør de rationale og de irrationale tal de reelle tal, som vi betegner med symbolet R.

Der findes også nogle mængder af tal, som er karakteriseret ved, at de har særlige egenskaber. Fx har primtal den særlige egenskab, at tallene kun kan divideres med 1 og tallet selv for at give et helt tal. Et andet eksempel er Fibonacci-tal, hvor et tal i talrækken er summen af de to foregående tal.

Det arabiske talsystem (titalssystemet)

Det talsystem, som vi kender bedst, kaldes det arabiske talsystem, titalssystemet eller decimalsystemet. Det består af cifrene 0-9, som kan sættes sammen til at danne andre tal. Talsystemet er positionelt, hvilket betyder, at det er vigtigt at kende de positioner (de pladser), som cifrene kan stå på.

Tag fx tallet 234. Man siger, at 4 står på enernes plads, 3 står på tiernes plads, og 2 står på hundredernes plads. 2-tallets placering på hundredernes plads fortæller, at cifret repræsenterer tallet 200, mens 3-tallet repræsenterer tallet 30. Lægger man 200, 30 og 4 sammen bliver tallet 234.

Det er også vigtigt at kende cifrenes position, når man skal lære om regnearterne plus, minus, gange og division, og når man skal regne med decimaltal.

Se fx på tallet her: 12.345,067. Tallet består af otte cifre (heraf tre decimaler), der står på disse pladser:

• 1 står på titusindernes plads

• 2 står på tusindernes plads

• 3 står på hundredernes plads

• 4 står på tiernes plads

• 5 står på enernes plads

• 0 står på tiendedelenes plads

• 6 står på hundrededelenes plads

• 7 står på tusindedelenes plads

Tal kan være uendeligt store og uendeligt små, og derfor findes der uendeligt mange pladser. Desuden kan en plads godt være tom, nemlig ved at den består af tallet 0. Tallet 102 er fx tallene 100 og 2 lagt sammen – uden nogen tiere.

Når man siger navnet på tal, går man fra venstre til højre bortset fra tierne og enerne, som er byttet om. Fx siges 1234 som “et tusind to hundrede og fireogtredive”. Sammenlign med engelsk “one thousand two hundred and thirty four.” Det kan godt volde problemer for folk, der lærer dansk – og ligeledes for dansktalende, der lærer engelsk.

Bonusinfo: Undrer du dig over navnet på talsystemet? Egentlig blev talsystemet opfundet af inderne, men det kaldes “det arabiske talsystem” (eller “det indisk-arabiske talsystem”), fordi det var araberne, der udbredte talsystemet til den vestlige verden.

Store tal

Cifrene 0-9 kan sættes sammen til at skrive meget store tal. Du har måske undret dig og tænkt “Hvordan skriver man 1 milliard i tal?” eller “Hvad kommer efter milliard?”.

I tabellen nedenunder har vi skrevet nogle meget store tal både skrevet ud og som 10’er-potens, samt hvad tallene hedder.

Vi springer fra 10⁹ på listen til 10¹², fordi du forhåbentligt kan se systemet – 10¹⁰ betyder ti milliarder, og 10¹¹ betyder hundred milliarder, så når vi går fra million til milliard til billion til billiard og så videre, så ganger vi med 1000. En milliard svarer derfor til 1000 millioner.

Der findes uendeligt mange tal, så listen kan aldrig skrives færdig. Du skal dog næppe have at gøre med så store tal, men det er en sjov oversigt. Vi kan desuden nævne, at et 1-tal med hundred 0-taller bagved (altså 10¹⁰⁰) kaldes en googol. Det inspirerede søgemaskinen Google til sit navn, fordi man kan besøge en googol forskellige hjemmesider via Google (hvilket skal forstås som rigtig, rigtig mange).

Vær opmærksom på, at man kan komme til at forveksle navnene på dansk med dem på engelsk. På engelsk går man fra million til billion til trillion og så videre. Det engelske ord billion betyder derfor ‘milliard’ på dansk, mens det engelske ord trillion betyder ‘billion’ på dansk. Ligeledes er en billionaire på engelsk en ‘milliardær’ på dansk.

Det binære talsystem (totalssystemet)

Som nævnt bruger vi det arabiske talsystem i vores dagligdag, men der findes også andre talsystemer, fx det binære talsystem (også kaldet totalssystemet). Det binære talsystem består blot af cifrene 0 og 1 (altså to tal i to-tals-systemet versus ti tal i ti-tals-systemet).

Det binære talsystem er ligeledes positionelt, men pladserne kan altså kun bestå af 0 eller 1. Mens man i det arabiske talsystem ganger op med 10, når man læser tallet fra højre til venstre, ganger man med op med 2 i det binære talsystem.

Pladserne består derfor af en anden værdi og har disse navne:

• Enerne (fordi 2⁰ = 1)

• Toerne (fordi 2¹ = 2)

• Firerne (fordi 2² = 4)

• Otterne (fordi 2³ = 8)

• Sekstenerne (fordi 2⁴ = 16)

• … og så videre

Når der står et 1-tal på enernes plads, betyder det, at der er en ener i tallet, og hvis ikke, står der et 0. Når der står et 1-tal på toernes plads, betyder det, at der er en toer i tallet, og hvis ikke, står der et 0. Sådan fortsætter det.

Sådan fortsætter listen selvfølgelig i det uendelige.

Nu ved vi, hvordan man skriver binære tal, men lad os prøve at aflæse et binært tal. Vi har tallet: 11111101001.

Vi skriver pladserne over hvert ciffer (vi starter med 1 længst til højre).

Alle værdierne ud for 1-tallerne lægger vi sammen:

• 1024 + 512 + 256 + 128 + 64 + 32 + 8 + 1 = 2025

Det binære tal 11111101001 svarer til 2025.

Prøv selv at se, om du kan skrive et stort tal med binære tal, fx dit fødselsår.

Andre positionelle talsystemer

Vi har indtil videre set på to forskellige talsystemer: Det arabiske talsystem (titalssystemet) med 10 som grundtal, og det binære talsystem (totalssystemet) med 2 som grundtal. Der findes andre positionelle talsystemer, hvor principperne er de samme, men hvor grundtallet er et andet, fx:

• Det oktale talsystem med 8 som grundtal

• Det duodecimale talsystem med 12 som grundtal

• Det hexadecimale talsystem med 16 som grundtal

• Det vigesimale talsystem (tyvetalssystemet) med 20 som grundtal

• Det seksagesimale talsystem med 60 som grundtal

Rester af det vigesimale talsystem ses i nogle af de danske talord. Det gælder 50, 60, 70, 80 og 90. 60 og 80 siges henholdsvis ‘tres’ og ‘firs’ – men i gamle dage sagde man:

• 60: ‘tresindstyve’ (tre gange tyve) 

• 80: ‘firsindstyve’ (fire gange tyve)

Det har også givet navn til tallene ‘halvtreds’, ‘halvfjerds’ og ‘halvfems’, som i gamle dage hed:

• 50: ‘halvtredsindstyve’ (halvtredje gange tyve, altså 2,5 gange 20)

• 70: ‘halvfjerdsindstyve’ (halvfjerde gange tyve, altså 3,5 gange 20)

• 90: ‘halvfemsindstyve’ (halvfemte gange tyve, altså 4,5 gange 20)

Ordene ‘halvtredje’, ‘halvfjerde’ og ‘halvfemte’ bruges ikke i dag, og de kan derfor være svære at forstå – men tænk på ordet ‘halvanden’, som vi stadig bruger, og som betyder 1,5.

Hvis man har dansk som modersmål, har man nok ikke tænkt over disse navne, men det kan være svært at holde styr på navnene, hvis man lærer dansk som et nyt sprog.

Romertal

De talsystemer, som vi har set indtil videre, har været positionstalsystemer. De adskiller sig fra romertal, som er et additivt talsystem. Det betyder, at tallene altid har den samme værdi, og at deres placering fortæller, hvordan de skal lægges sammen, når de danner et større tal (additiv betyder ‘at lægge til’).

Romertal består af bogstaverne I, V, X, L, C, D og M, og de har altid disse værdier:

• I = 1

• V = 5

• X = 10

• L = 50

• C = 100

• D = 500

• M = 1000

Hvordan man så kombinerer disse bogstaver, kan du læse meget mere om i vores indlæg om romertal.