Pythagoras’ sætning er en matematisk formel, som man kan bruge til at beregne længden af en af siderne i en retvinklet trekant, hvis man kender længden på de to andre sider. Formlen er opkaldt efter den græske filosof og matematiker Pythagoras, som beviste, at man kan bruge formlen på alle retvinklede trekanter.
I dette indlæg kommer vi ind på:
Hvordan er Pythagoras’ sætning?
Hvordan regner man Pythagoras ud?
Hvordan finder man a i Pythagoras?
Hvordan finder man b i Pythagoras?
Bevis for Pythagoras’ sætning
Hvilke trekanter kan Pythagoras’ sætning bruges på?
Oversigt over formlerne for Pythagoras’ sætning
Hvordan er Pythagoras’ sætning?
Pythagoras’ læresætning (også kaldt den pythagoræiske læresætning) lyder:
a² + b² = c²
Pythagoras’ sætning gælder for retvinklede trekanter – det vil sige alle trekanter, som har en vinkel på præcis 90 grader, som vist herunder:
Siderne a og b er trekantens kateter, mens side c kaldes hypotenusen. Det er lige meget, hvilken af kateterne man kalder for a, og hvilken man kalder b. Når man kender længden på to af siderne i en retvinklet trekant, kan man beregne den tredje side ved hjælp af Pythagoras' formel. Altså skal man kende længderne på begge kateter eller længderne på en katete og hypotenusen.
Hvordan regner man Pythagoras ud?
Lad os beregne et eksempel. Vi har en retvinklet trekant, hvor den ene katete har en længde på 3 cm, og den anden katete har en længde på 4 cm. Vi vil gerne finde længden af hypotenusen.
Vi sætter tallene ind på a og b’s plads i formlen:
3² + 4² = c²
Vi følger regnearterne hierarki, så først beregner vi potenserne.
3² = 9*9 = 9
4² = 4*4 = 16
Derefter lægger vi tallene sammen.
9 + 16 = c²
25 = c²
Til sidst skal vi isolere c. Det gør vi ved at tage kvadratroden på begge sider af lighedstegnet.
Sådan har vi beregnet, at længden af hypotenusen er 5 cm.
Man kan også lave regnestykket uden mellemregninger ved at omskrive formlen på denne måde:
Resultatet bliver det samme, men regnestykket ser sådan her ud:
Hvordan finder man a i Pythagoras?
Vi kan også beregne et eksempel, hvor vi kender længden på den ene katete og hypotenusen, og hvor vi gerne vil finde længden på den anden katete.
Vi har en retvinklet trekant, hvor den ene katete er 8 cm lang, og hypotenusen er 10 cm lang som vist på dette billede:
Vi sætter tallene ind på b og c’s plads i formlen:
a² + 8² = 10²
Vi starter med at isolere a² ved at flytte 8² over på den anden side af lighedstegnet. Det gør vi ved ændre fortegnet, så vores regnestykke nu ser sådan her ud:
a² = 10² - 8²
Nu kan vi beregne potenserne.
10² = 10*10 = 100
8² = 8*8 = 64
Dernæst trækker vi tallene fra hinanden.
a² = 100 - 64
a² = 36
Til sidst isolerer vi a.
Sådan har vi beregnet, at længden af a er 6 cm.
Igen kan vi isolere a i formlen fra start, så vi undgår mellemregninger. For at finde a kan vi derfor også bruge denne formel:
Så vil regnestykket se sådan her ud:
Hvordan finder man b i Pythagoras?
Som nævnt er der ikke forskel på, om man betegner den ene eller den anden katete med a eller b. Ovenover gennemgik vi, hvordan man finder a, og det samme gælder, når man skal finde b.
Igen kan vi skrive formlen på to måder:
Bevis for Pythagoras’ sætning
Hvorfor ser Pythagoras’ sætning ud, som den gør? Det kan vi vise med et bevis.
Vi starter ved at tegne et kvadrat - det vil sige en firkant, hvor alle sider er lige lange, og hvor alle vinkler er 90 grader.
Inde i kvadratet tegner vi fire lige store trekanter i hvert hjørne, som danner et mindre kvadrat i midten.
Vi viser, at trekanterne er lige store ved at betegne kateterne a og b og hypotenusen c.
Først skal vi bevise, at den mindre firkant i midten med sidelængden c er kvadratisk, og at alle vinklerne i kvadratet er 90 grader.
Vi betegner de to spidse vinkler i trekanterne v og w.
Vi ved, at vinkelsummen i en trekant er 180 grader. Det betyder, at v og w tilsammen må udgøre 90 grader, fordi den rette vinkel udgør 90 grader:
180 - (v + w) = 90
Hvis vi ser på billedet nedenunder, må de to vinkler v og w, som de grønne pile peger på, også udgøre 90 grader tilsammen. Den blå stiplede linje udgør 180 grader, da det er en halv cirkel (vinkelsummen i en cirkel er 360 grader). Når vi trækker v og w fra de 180, må den sidste vinkel, som den lyserøde pil peger på, være 90 grader.
De tre resterende vinkler er dermed også 90 grader.
Da sidelængderne c er lige lange, kan vi konkludere, at den mindre firkant i midten er et kvadrat.
Dette skal vi bruge til at vise to beregninger for arealet af det store kvadrat.
I den første beregning skal vi først finde arealet af trekanterne. Her skal vi gange en halv med a, som er vores højde, og med b, som er vores grundlinje, så formlen for arealet af en af vores trekanter ser sådan her ud:
Vi har fire trekanter, så vi ganger med 4. Derefter lægger vi arealet af det lille kvadrat til, hvor vi ganger sidelængden c med sig selv, så vi siger “c i anden.” Den ene beregning for arealet af det store kvadrat lyder derfor sådan:
I den anden beregning for arealet af det store kvadrat ganger vi sidelængderne med hinanden. En sidelængde af det store kvadrat er (a + b), og for at finde arealet skal vi gange sidelængden med sig selv. Den anden beregning for arealet af det store kvadrat lyder derfor sådan:
Da vi nu har to beregninger for arealet af det store kvadrat, kan vi sætte dem lig hinanden.
Først ganger vi parentesen ud på venstre side af lighedstegnet. Derefter ganger vi ind på hvert led.
Vi ganger a med a og får a². Vi ganger ligeledes b med b og får b². Vi ganger a med b, som giver ab, og vi ganger b med a, som også giver ab. To ab lagt sammen giver 2ab.
På højre side side af lighedstegnet kan vi reducere ved at gange 4 med en halv, som giver 2.
Vores ligning ser nu sådan her ud:
Vi flytter 2ab fra venstre side over på højre side af lighedstegnet, og det gør vi ved at ændre fortegnet. 2ab minus 2ab giver nul, så de går ud med hinanden.
Så står vi tilbage med denne formel:
Sådan har udregnet beviset for Pythagoras’ sætning.
Hvilke trekanter kan Pythagoras’ sætning bruges på?
Som beviset ovenfor viser, gælder Pythagoras’ sætning for alle retvinklede trekanter – uanset længderne på kateterne.
Hvis man har en trekant, der ikke er retvinklet, kan man stadig bruge Pythagoras – man skal bare dele trekanten ind i to retvinklede trekanter, som på billedet her:
Lad os sige, at vi ved, at siderne på trekanten er 7,21 cm, og at grundlinjen er 8 cm, og vi vil gerne finde højden på trekanten. Det svarer til, at vi kender den ene katete (som er halvdelen af 8, dvs. 4), og vi kender hypotenusen, som er 7,21 cm. Nu skal vi finde længden på den anden katete, som er vist med den stiplede linje.
Vi sætter tallene ind i vores formel.
a² + 4² = 7,21²
Vi starter med at isolere a² ved at flytte 4² over på den anden side af lighedstegnet.
a² = 7,21² - 4²
Nu kan vi beregne potenserne.
7,21² = 7,21*7,21 = 51,98
4² = 4*4 = 16
Dernæst trækker vi tallene fra hinanden.
a² = 51,98 - 16
a² = 35,98
Til sidst isolerer vi a.
Sådan har vi beregnet, at højden af trekanten er 6 cm.
Lad os se på et andet eksempel, hvor de to sidelængder ikke er lige lange, og dermed er de to retvinklede trekanter ikke lige store.
Vi kender de to sidelængder samt højden, og vi vil finde længden af grundlinjen.
Vi starter med at se på venstre side af trekanten, hvor vi ved, at den ene katete er 12 cm, og hypotenusen er 15 cm. Vi sætter disse tal ind i formlen.
a² + 12² = 15²
Først isolerer vi a² ved at flytte 12² over på den anden side af lighedstegnet.
a² = 15² - 12²
Nu kan vi beregne potenserne.
15² = 15*15 = 225
12² = 12*12 = 144
Dernæst trækker vi tallene fra hinanden.
a² = 225 - 144
a² = 81
Til sidst isolerer vi a.
Det første stykke af grundlinjen er dermed 9 cm.
Nu ser vi på højre side af trekanten, hvor vi ved, at den ene katete er 12 cm, og hypotenusen er 20 cm. Vi sætter disse tal ind i formlen.
a² + 12² = 20²
Vi isolerer a² ved at flytte 12² over på den anden side af lighedstegnet.
a² = 20² - 12²
Vi beregner potenserne.
20² = 20*20 = 400
12² = 12*12 = 144
Dernæst trækker vi tallene fra hinanden.
a² = 400 - 144
a² = 256
Til sidst isolerer vi a.
Det andet stykke af grundlinjen er dermed 16 cm.
9 + 16 = 25, så hele grundlinjen er 25 cm lang.
Oversigt over formlerne for Pythagoras’ sætning
Her kan du se en oversigt over de formler, som vi har gennemgået i dette indlæg, så du hurtigt kan se, hvilken du skal bruge, alt efter om du skal finde a, b, eller c.
Hvis du stadig ikke har helt styr på, hvordan du bruger Pythagoras’ sætning til dine lektier og matematikafleveringer, kan du få lektiehjælp i matematik hos GoTutor. Du kan få hjælp til lige præcis dét, som du har svært ved.