Sådan bruger du Pythagoras’ sætning

Af Isabella Viborg Grarup 07-01-2024
Sådan bruger du Pythagoras’ sætning

Pythagoras’ sætning er en matematisk formel, som man kan bruge til at beregne længden af en af siderne i en retvinklet trekant, hvis man kender længden på de to andre sider. Formlen er opkaldt efter den græske filosof og matematiker Pythagoras, som beviste, at man kan bruge formlen på alle retvinklede trekanter.

I dette indlæg kommer vi ind på:

  • Hvordan er Pythagoras’ sætning?

  • Hvordan regner man Pythagoras ud?

  • Hvordan finder man a i Pythagoras?

  • Hvordan finder man b i Pythagoras?

  • Bevis for Pythagoras’ sætning

  • Hvilke trekanter kan Pythagoras’ sætning bruges på?

  • Oversigt over formlerne for Pythagoras’ sætning



Hvordan er Pythagoras’ sætning?

Pythagoras’ læresætning (også kaldt den pythagoræiske læresætning) lyder:

  • a² + b² = c²

Pythagoras’ sætning gælder for retvinklede trekanter – det vil sige alle trekanter, som har en vinkel på præcis 90 grader, som vist herunder:

retvinklet trekant

Siderne a og b er trekantens kateter, mens side c kaldes hypotenusen. Det er lige meget, hvilken af kateterne man kalder for a, og hvilken man kalder b. Når man kender længden på to af siderne i en retvinklet trekant, kan man beregne den tredje side ved hjælp af Pythagoras' formel. Altså skal man kende længderne på begge kateter eller længderne på en katete og hypotenusen.



Hvordan regner man Pythagoras ud?

Lad os beregne et eksempel. Vi har en retvinklet trekant, hvor den ene katete har en længde på 3 cm, og den anden katete har en længde på 4 cm. Vi vil gerne finde længden af hypotenusen.

Beregning af hypotenusen - retvinklet trekant

Vi sætter tallene ind på a og b’s plads i formlen:

3² + 4² = c²

Vi følger regnearterne hierarki, så først beregner vi potenserne

3² = 9*9 = 9

4² = 4*4 = 16

Derefter lægger vi tallene sammen.

9 + 16 = c²

25 = c²

Til sidst skal vi isolere c. Det gør vi ved at tage kvadratroden på begge sider af lighedstegnet.

Beregning af hypotenusen - kvadrat på begge sider af lighedstegnet


Sådan har vi beregnet, at længden af hypotenusen er 5 cm.

Man kan også lave regnestykket uden mellemregninger ved at omskrive formlen på denne måde:

Hypotenusen - formel


Resultatet bliver det samme, men regnestykket ser sådan her ud:

Beregning af hypotenusen - resultatet

Hvordan finder man a i Pythagoras?

Vi kan også beregne et eksempel, hvor vi kender længden på den ene katete og hypotenusen, og hvor vi gerne vil finde længden på den anden katete.

Vi har en retvinklet trekant, hvor den ene katete er 8 cm lang, og hypotenusen er 10 cm lang som vist på dette billede:

a i en retvinklet trekant


Vi sætter tallene ind på b og c’s plads i formlen:

a² + 8² = 10²

Vi starter med at isolere a² ved at flytte 8² over på den anden side af lighedstegnet. Det gør vi ved ændre fortegnet, så vores regnestykke nu ser sådan her ud:

a² = 10² - 8² 

Nu kan vi beregne potenserne.

10² = 10*10 = 100

8² = 8*8 = 64

Dernæst trækker vi tallene fra hinanden.

a² = 100 - 64 

a² = 36

Til sidst isolerer vi a.

Isolering af a


Sådan har vi beregnet, at længden af a er 6 cm.

Igen kan vi isolere a i formlen fra start, så vi undgår mellemregninger. For at finde a kan vi derfor også bruge denne formel:

Find a i retvinklet trekant - formel


Så vil regnestykket se sådan her ud:

Find a ved brug af formel - retvinklet trekant



Hvordan finder man b i Pythagoras?

Som nævnt er der ikke forskel på, om man betegner den ene eller den anden katete med a eller b. Ovenover gennemgik vi, hvordan man finder a, og det samme gælder, når man skal finde b.

Igen kan vi skrive formlen på to måder:

Find b i pythagoras - formel 1

Find b i pythagoras - formel 2



Bevis for Pythagoras’ sætning

Hvorfor ser Pythagoras’ sætning ud, som den gør? Det kan vi vise med et bevis. 

Vi starter ved at tegne et kvadrat - det vil sige en firkant, hvor alle sider er lige lange, og hvor alle vinkler er 90 grader.

Inde i kvadratet tegner vi fire lige store trekanter i hvert hjørne, som danner et mindre kvadrat i midten.

Bevis for pythagoras sætning - 1



Vi viser, at trekanterne er lige store ved at betegne kateterne a og b og hypotenusen c.

Bevis for pythagoras sætning - 2



Først skal vi bevise, at den mindre firkant i midten med sidelængden c er kvadratisk, og at alle vinklerne i kvadratet er 90 grader.

Vi betegner de to spidse vinkler i trekanterne v og w.

Bevis for pythagoras sætning - 3


Vi ved, at vinkelsummen i en trekant er 180 grader. Det betyder, at v og w tilsammen må udgøre 90 grader, fordi den rette vinkel udgør 90 grader:

180 - (v + w) = 90

Hvis vi ser på billedet nedenunder, må de to vinkler v og w, som de grønne pile peger på, også udgøre 90 grader tilsammen. Den blå stiplede linje udgør 180 grader, da det er en halv cirkel (vinkelsummen i en cirkel er 360 grader). Når vi trækker v og w fra de 180, må den sidste vinkel, som den lyserøde pil peger på, være 90 grader.

Bevis for pythagoras sætning - 4


De tre resterende vinkler er dermed også 90 grader.

Bevis for pythagoras sætning - 5


Da sidelængderne c er lige lange, kan vi konkludere, at den mindre firkant i midten er et kvadrat.

Dette skal vi bruge til at vise to beregninger for arealet af det store kvadrat. 

I den første beregning skal vi først finde arealet af trekanterne. Her skal vi gange en halv med a, som er vores højde, og med b, som er vores grundlinje, så formlen for arealet af en af vores trekanter ser sådan her ud:

Formlen for areal af en trekant


Vi har fire trekanter, så vi ganger med 4. Derefter lægger vi arealet af det lille kvadrat til, hvor vi ganger sidelængden c med sig selv, så vi siger “c i anden.” Den ene beregning for arealet af det store kvadrat lyder derfor sådan:

Beregning for arealet af det store kvadrat - første del


I den anden beregning for arealet af det store kvadrat ganger vi sidelængderne med hinanden. En sidelængde af det store kvadrat er (a + b), og for at finde arealet skal vi gange sidelængden med sig selv. Den anden beregning for arealet af det store kvadrat lyder derfor sådan:

beregning for arealet af det store kvadrat - del 2


Da vi nu har to beregninger for arealet af det store kvadrat, kan vi sætte dem lig hinanden.

Beregning for arealet af det store kvadrat - del 1 lig med del 2


Først ganger vi parentesen ud på venstre side af lighedstegnet. Derefter ganger vi ind på hvert led.

Gange ud af parentes


Vi ganger a med a og får a². Vi ganger ligeledes b med b og får b². Vi ganger a med b, som giver ab, og vi ganger b med a, som også giver ab. To ab lagt sammen giver 2ab.

På højre side side af lighedstegnet kan vi reducere ved at gange 4 med en halv, som giver 2.

Vores ligning ser nu sådan her ud:

Beregning for arealet af det store kvadrat - ny ligning uden parentes


Vi flytter 2ab fra venstre side over på højre side af lighedstegnet, og det gør vi ved at ændre fortegnet. 2ab minus 2ab giver nul, så de går ud med hinanden.

Beregning for arealet af det store kvadrat


Så står vi tilbage med denne formel:

Beregning for arealet af det store kvadrat - formlen


Sådan har udregnet beviset for Pythagoras’ sætning.



Hvilke trekanter kan Pythagoras’ sætning bruges på?

Som beviset ovenfor viser, gælder Pythagoras’ sætning for alle retvinklede trekanter – uanset længderne på kateterne.

Hvis man har en trekant, der ikke er retvinklet, kan man stadig bruge Pythagoras – man skal bare dele trekanten ind i to retvinklede trekanter, som på billedet her:

Trekant med to retvinklede trekanter


Lad os sige, at vi ved, at siderne på trekanten er 7,21 cm, og at grundlinjen er 8 cm, og vi vil gerne finde højden på trekanten. Det svarer til, at vi kender den ene katete (som er halvdelen af 8, dvs. 4), og vi kender hypotenusen, som er 7,21 cm. Nu skal vi finde længden på den anden katete, som er vist med den stiplede linje.

Trekant med to retvinklede trekanter - med mål


Vi sætter tallene ind i vores formel.

a² + 4² = 7,21²

Vi starter med at isolere a² ved at flytte 4² over på den anden side af lighedstegnet.

a² = 7,21² - 4² 

Nu kan vi beregne potenserne.

7,21² = 7,21*7,21 = 51,98

4² = 4*4 = 16

Dernæst trækker vi tallene fra hinanden.

a² = 51,98 - 16 

a² = 35,98

Til sidst isolerer vi a.

Trekant med to retvinklede trekanter - isolering af a


Sådan har vi beregnet, at højden af trekanten er 6 cm.

Lad os se på et andet eksempel, hvor de to sidelængder ikke er lige lange, og dermed er de to retvinklede trekanter ikke lige store.

Vi kender de to sidelængder samt højden, og vi vil finde længden af grundlinjen.

Trekant med to trekanter


Vi starter med at se på venstre side af trekanten, hvor vi ved, at den ene katete er 12 cm, og hypotenusen er 15 cm. Vi sætter disse tal ind i formlen.

a² + 12² = 15²

Først isolerer vi a² ved at flytte 12² over på den anden side af lighedstegnet. 

a² = 15² - 12² 

Nu kan vi beregne potenserne.

15² = 15*15 = 225

12² = 12*12 = 144

Dernæst trækker vi tallene fra hinanden.

a² = 225 - 144 

a² = 81

Til sidst isolerer vi a.

Trekant med to trekanter - isolere a


Det første stykke af grundlinjen er dermed 9 cm.

Nu ser vi på højre side af trekanten, hvor vi ved, at den ene katete er 12 cm, og hypotenusen er 20 cm. Vi sætter disse tal ind i formlen.

a² + 12² = 20²

Vi isolerer a² ved at flytte 12² over på den anden side af lighedstegnet. 

a² = 20² - 12² 

Vi beregner potenserne.

20² = 20*20 = 400

12² = 12*12 = 144

Dernæst trækker vi tallene fra hinanden.

a² = 400 - 144 

a² = 256

Til sidst isolerer vi a.

Trekant - isolere a


Det andet stykke af grundlinjen er dermed 16 cm.

9 + 16 = 25, så hele grundlinjen er 25 cm lang.


To trekanter i en trekant - med mål



Oversigt over formlerne for Pythagoras’ sætning

Her kan du se en oversigt over de formler, som vi har gennemgået i dette indlæg, så du hurtigt kan se, hvilken du skal bruge, alt efter om du skal finde a, b, eller c.

Oversigt over formler - Pythagoras


Hvis du stadig ikke har helt styr på, hvordan du bruger Pythagoras’ sætning til dine lektier og matematikafleveringer, kan du få lektiehjælp i matematik hos GoTutor. Du kan få hjælp til lige præcis dét, som du har svært ved.

Mød forfatteren:

Billede af

Hej, mit navn er Isabella! Jeg skriver indlæg her hos GoTutor. Jeg har en bachelorgrad i lingvistik (sprogvidenskab) og journalistisk formidling, og nu er jeg i gang med en kandidat i lingvistik på Københavns Universitet, så jeg har masser af viden at dele ud af!

Søger du privat lektiehjælp?

  • GoTutor er Danmarks bedst anmeldte

  • Mange års erfaring og en del af Egmont

  • Trænede og uddannede undervisere

  • Fast lav pris og fair vilkår


Eller kontakt os på: info@gotutor.dk

Du vil måske også synes om

Trigonometri: Lær om tangens, sinus og cosinus
Trigonometri: Lær om tangens, sinus og cosinus

Trigonometri er et område inden for matematik, som går ud på at beregne størrelserne på vinkler og s...

Isabella Viborg Grarup 01-02-2024
Minus/subtraktion: Sådan trækker du tal fra andre tal
Minus/subtraktion: Sådan trækker du tal fra andre tal

Minus eller subtraktion er en regneart, som man tit møder i regnestykker. Man kan regne store minuss...

Isabella Viborg Grarup 06-10-2023
Omregning af enheder
Omregning af enheder

Omregning går ud på at regne noget på en anden måde. Man omregner fra én enhed til en anden, fx fra...

Isabella Viborg Grarup 19-01-2024
Lad os tale sammen

Vi er klar til at svare på dine spørgsmål.
Ring til os på:

71 99 71 90