Lær at løse ligninger

Af Isabella Viborg Grarup 19-01-2024
Lær at løse ligninger

Ligninger går ud på at lave udregninger, hvor man altid har to lige store størrelser på begge sider af lighedstegnet, og ofte skal man finde værdien af en eller flere ubekendte eller variable. Billedet ovenfor forestiller en vægt, som viser, at der skal være lige meget på hver vægtskål. Det samme princip gør sig gældende for ligninger.

I dette indlæg vil vi komme ind på:

  • Hvad er en ligning?

  • Hvilke regneregler bruges ved løsning af ligninger?

  • Hvordan kan man løse en ligning?

  • Hvad regner man først i en ligning?

  • Hvordan løser man en ligning med brøk?

  • To ligninger med to ubekendte


Hvad er en ligning?

En ligning er en formel, hvor der indgår et lighedstegn (=), der viser, at to størrelser er ens. Fx kan en ligning være 1 + 2 = 3, fordi de to størrelser – henholdsvis 1 + 2 og 3 – er lige store.

Ligninger indeholder ofte en eller flere variable eller ubekendte, som oftest kaldes x. Når man skal løse en ligning, går det derfor ud på at beregne, hvilken værdi x dækker over. En ligning med én ubekendt kan se sådan her ud:

  • x + 3 = 5

Det betyder, at man skal finde et tal, som giver 5, hvis man lægger 3 til. Løsningen på ligningen vil derfor være 2, så man skriver, at x = 2.


Hvilke regneregler bruges ved løsning af ligninger?

Når man skal løse ligninger, gælder disse regneregler:

Plus/addition: Du må lægge det samme tal til på begge sider af lighedstegnet. Hvis du har en ligning, der hedder a = b, kan du lægge c til på begge sider således: 

  • a + c = b + c


Minus/subtraktion: Du må trække det samme tal fra på begge sider af lighedstegnet. Hvis du har en ligning, der hedder a = b, kan du trække c fra på begge sider således: 

  • a - c = b - c


Gange/multiplikation: Du må gange med det samme tal på begge sider af lighedstegnet. Hvis du har en ligning, der hedder a = b, kan du gange med c på begge sider således: 

  • ac = bc

(Bemærk, at man ikke behøver at skrive et gangetegn.)


Division: Du må dividere med det samme tal på begge sider af lighedstegnet. Hvis du har en ligning, der hedder a = b, kan du dividere med c på begge sider således: 

  • a/c = b/c

MEN! Du må aldrig gange eller dividere med 0.

Disse regneregler skal du bruge til at løse ligninger. Nedenunder viser vi hvordan.


Hvordan kan man løse en ligning?

Vi vil nu gennemgå, hvordan man kan løse ligninger med de regneregler, som vi så ovenfor. Lad os se på denne ligning:

  • x - 7 = 11

Vi vil gerne finde x, så vi skal have x til at stå alene på den ene side af lighedstegnet, så hvad end der svarer til x, står på den anden side af lighedstegnet. I vores eksempel betyder det, at vi skal have fjernet -7, og det gør vi ved at lægge 7 til. Men husk, at hvis vi lægger 7 til, skal vi gøre det på begge sider af lighedstegnet:

  • x - 7 = 11

  • x - 7 + 7 = 11 + 7

På venstre side af lighedstegnet går -7 og +7 ud med hinanden. På højre side af lighedstegnet skal vi lægge 11 og 7 sammen:

  • x - 7 + 7 = 11 + 7

  • x = 18

Altså svarer x til 18 i vores ligning. Hvis man er i tvivl om, om man har fået det rigtige resultat, kan man prøve at sætte det ind på x’s plads i ligningen. Altså kan man tjekke, om følgende stemmer overens:

  • x - 7 = 11

  • 18 - 7 = 11

Det gør det! Vi kigger på endnu et eksempel:

  • x + 9 = 23

Før ændrede vi -7 ved at lægge 7 til. Nu skal vi ændre +9 ved at trække 9 fra – som altid på begge sider af lighedstegnet:

  • x + 9 = 23

  • x + 9 - 9 = 23 - 9

  • x = 14

Sådan har vi løst vores ligning. Vi tager endnu et eksempel.

  • 2x = 30

Vi har to gange x på venstre side af lighedstegnet. For at få ét x, skal vi dividere med 2 på begge sider af lighedstegnet:

  • 2x = 30

  • 2x/2 = 30/2

  • x = 15

Løsningen af vores ligning er, at x = 15. Lad os tage endnu et eksempel.

  • x/3 = 4

Vi kan isolere x på venstre side af lighedstegnet ved at gange med 3 på begge sider:

  • x/3 = 4

  • x/3*3 = 4*3

  • x = 12

Som du måske har gennemskuet, skal man bruge den modsatte regneart til at isolere x. Plus og minus er det modsatte af hinanden, og gange og division er det modsatte af hinanden. 

Man kan også løse ligninger ved blot at ændre fortegnet, når man flytter en størrelse over på den anden side. På den måde slipper man for at skrive, at noget går ud med hinanden. Vi tager vores første eksempel igen:

  • x - 7 = 11

Altså behøver vi ikke skrive +7 på begge sider – vi kan bare flytte -7 over på højre side, og det gør vi ved at ændre til det modsatte fortegn, så minus bliver plus:

  • x - 7 = 11

  • x = 11 + 7

  • x = 18

Hvis du først lige er begyndt at lære at løse ligninger, er det måske nemmest for dig at skrive +7 på begge sider af lighedstegnet, så du kan se, hvordan to +7 går ud med -7. Men hvis du begynder at blive god til ligninger, er det hurtigere bare at flytte -7 over på den anden side og ændre fortegnet.

På samme måde kan vores forrige eksempler med gange og division også løses ved direkte overflytning:

  • 2x = 30

  • x = 30/2

  • x = 15

-

  • x/3 = 4

  • x = 3*4

  • x = 12



Hvad regner man først i en ligning?

Hvad gør man, hvis man har en ligning, hvori der indgår flere forskellige regnearter? Som denne:

  • 5x - 6 = 24

Først skal du lægge 6 til på begge sider – hvilket som nævnt kan gøres ved at flytte -6 over på den anden side og ændre fortegnet:

  • 5x - 6 = 24

  • 5x = 24 + 6

  • 5x = 30

Dernæst skal du dividere med 5 på begge sider – eller ved at flytte 5 over på den anden side og ændre fortegnet fra gange til division.

  • 5x = 30

  • x = 30/5

  • x = 6

Sådan har vi løst vores ligning. Lad os se på et eksempel, hvor vi har mere end ét x:

  • 7x + 6 = 4x + 12

Vi skal samle x’erne på den ene side og tallene på den anden side. Det er lige meget, hvad der står på venstre side af lighedstegnet, og hvad der står på højre side.

  • 7x + 6 = 4x + 12

  • 7x - 4x = 12 - 6

  • 3x = 6

  • x = 2

Som altid kan man sætte sit resultat ind på x’ernes plads for at tjekke, om der kommer til at stå det samme på begge af lighedstegnet, når man laver udregningerne.

  • 7x + 6 = 4x + 12

  • 7*2 + 6 = 4*2 + 12

  • 14 + 6 = 8 + 12

  • 20 = 20

Hvis du tjekker efter og ender med to tal, der ikke er ens, har du lavet en fejl et sted, og så må du starte udregningen forfra.

Man kan også have ligninger med parenteser. Man skal ophæve parenteserne som det allerførste. Eksempel:

  • 3(2x + 3) = -(4 + 2x - 3) + 2

På venstre side har vi et 3-tal foran parentesen, som skal ganges ind i parentesen ved at gange 3 med hvert led (dvs. 2x og 3). Led er adskilt af plus og minus. 

  • 3(2x + 3) = -(4 + 2x - 3) + 2

  • 6x + 9 = -(4 + 2x - 3) + 2

På højre side af lighedstegnet har vi et minus foran parentesen. Når man skal ophæve en minusparentes, skal man ændre fortegnene inde i parentesen, så plus bliver til minus, og minus bliver til plus.

  • 6x + 9 = -(4 + 2x - 3) + 2

  • 6x + 9 = -4 - 2x + 3 + 2

Desuden kan plusparenteser ophæves ved bare at fjerne parentesen. Nu kan vi løse resten af ligningen.

  • 6x + 9 = -4 - 2x + 3 + 2

  • 6x + 9 = 1 - 2x

  • 6x + 2x = 1 - 9

  • 8x = -8

  • x = -1

Løsningen til vores ligning er, at x = -1.


Hvordan løser man en ligning med brøk?

Indtil videre har vi kun gennemgået ligninger med hele tal, men man kan også have ligninger med brøker og decimaltal.

Vi løser først en ligning med en brøk:

Løsning af brøk


En brøk er ligesom et divisionsstykke, så venstre side kan også læses som “x divideret med 5”. Som vi før har set, skal vi gange med 5 på begge sider af lighedstegnet. På højre side skal vi gange 5 ind på begge led (dvs. 22 og 2x).

  • x = 22*5 - 2x*5

  • x = 110 - 10x

Nu skal vi igen samle x’erne på den ene side af lighedstegnet.

  • x + 10x = 110

  • 11x = 110

  • x = 10

Løsningen på ligningen er, at x = 10.

Nu tager vi et eksempel, hvori der indgår decimaltal:

  • 2x - 2,5 = 0,5x + 1,5

Som vi før har set, kan man gange med det samme tal på begge sider af lighedstegnet. For at ændre decimaltallene til hele tal kan vi gange med 10:

  • 2x - 3,1 = 0,3x + 2

  • 10*(2x - 3,1) = 10*(0,3x + 2)

  • 20x - 31 = 3x + 20

Nu kan vi løse ligningen, som vi før har gjort.

  • 20x - 31 = 3x + 20

  • 20x - 3x = 20 + 31

  • 17x = 51

  • x = 3



To ligninger med to ubekendte

Man kan også have ligninger med to ubekendte, som fx kan være x og y. Det kræver dog, at man har mindst to ligninger. Hvis ens ligning bare hedder 3x = 9y, kan man umuligt vide, hvad x og y skal være. Så lad os tage et eksempel med to ligninger med to ubekendte:

  • 2x = 6y - 8

  • 4y = x + 7



Vi skal have isoleret enten x eller y i den ene ligning. Det er lige meget, hvilken ligning vi vælger. Vi vælger at isolere x i den øverste ligning, fordi vi nemt kan dividere med 2 på begge sider af lighedstegnet:

  • 2x = 6y - 8

  • x = 6y/2 - 8/2

  • x = 3y - 4

Nu har vi et udtryk for x. Det kan vi sætte ind på x’s plads i den anden ligning:

  • 4y = x + 7

  • 4y = 3y - 4 + 7

Nu har vi kun én ubekendt, nemlig y, som vi kan isolere.

  • 4y = 3y - 4 + 7

  • 4y - 3y = 3

  • y = 3

Så kender vi y, men vi skal også have fundet x. Før fandt vi ud af, at x = 3y - 4. Vi ved nu, at y = 3, så vi sætter 3 ind på y’s plads:

  • x = 3y - 4

  • x = 3*3 - 4

  • x = 5

Vores løsning på de to ligninger er altså, at x = 5 og y = 3. Det skriver vi på denne måde:

  • (x, y) = (5, 3)

Vi håber, at du nu har lært at løse ligninger. Hvis ikke, kan du altid finde lektiehjælp i matematik hos GoTutor.

Mød forfatteren:

Billede af

Hej, mit navn er Isabella! Jeg skriver indlæg her hos GoTutor. Jeg har en bachelorgrad i lingvistik (sprogvidenskab) og journalistisk formidling, og nu er jeg i gang med en kandidat i lingvistik på Københavns Universitet, så jeg har masser af viden at dele ud af!

Søger du privat lektiehjælp?

  • GoTutor er Danmarks bedst anmeldte

  • Mange års erfaring og en del af Egmont

  • Trænede og uddannede undervisere

  • Fast lav pris og fair vilkår


Eller kontakt os på: info@gotutor.dk

Du vil måske også synes om

Trigonometri: Lær om tangens, sinus og cosinus
Trigonometri: Lær om tangens, sinus og cosinus

Trigonometri er et område inden for matematik, som går ud på at beregne størrelserne på vinkler og s...

Isabella Viborg Grarup 01-02-2024
Minus/subtraktion: Sådan trækker du tal fra andre tal
Minus/subtraktion: Sådan trækker du tal fra andre tal

Minus eller subtraktion er en regneart, som man tit møder i regnestykker. Man kan regne store minuss...

Isabella Viborg Grarup 06-10-2023
Omregning af enheder
Omregning af enheder

Omregning går ud på at regne noget på en anden måde. Man omregner fra én enhed til en anden, fx fra...

Isabella Viborg Grarup 19-01-2024
Lad os tale sammen

Vi er klar til at svare på dine spørgsmål.
Ring til os på:

71 99 71 90