Der findes mange forskellige typer firkanter, der har forskellige formler for beregning af areal og omkreds. I dette indlæg vil vi gennemgå formler for fem forskellige firkanter, nemlig følgende:
Kvadrater:
Hvad er et kvadrat?
Hvordan finder man arealet af et kvadrat?
Hvordan finder man omkredsen af et kvadrat?
Hvordan finder man diagonalen i et kvadrat?
Hvor stor er sidelængden i et kvadrat, der har arealet A?
Rektangler:
Hvad er et rektangel?
Hvordan finder man arealet af et rektangel?
Hvordan finder man omkredsen af et rektangel?
Hvordan finder man diagonalen i et rektangel?
Romber:
Hvad er en rombe?
Hvordan finder man arealet af en rombe?
Hvordan finder man omkredsen af en rombe?
Hvordan finder man diagonalen i en rombe?
Parallelogrammer:
Hvad er et parallelogram?
Hvordan finder man arealet af et parallelogram?
Hvordan finder man omkredsen af et parallelogram?
Hvordan finder man diagonalen i et parallelogram?
Trapezer:
Hvad er et trapez?
Hvordan finder man arealet af et trapez?
Hvordan finder man omkredsen af et trapez?
Hvordan finder man diagonalen i et trapez?
Vi slutter af med en oversigt over de forskellige firkanter, som vi har gennemgået i dette indlæg.
Generelt om firkanter
En firkant er en figur, der har fire sidelængder og fire hjørner. Disse fire hjørner har altid en vinkelsum på 360 grader. Det gælder, uanset hvilken type firkant der er tale om: kvadrat, rektangel, rombe, parallelogram, trapez mm.
Hvad er et kvadrat?
Et kvadrat er en firkant, hvor alle fire sider er lige lange, og hvor alle fire hjørner er retvinklede – det vil sige, at hver vinkel er 90 grader.
Hvordan finder man arealet af et kvadrat?
Man finder arealet (A) af et kvadrat ved at gange sidelængden med sig selv. Hvis vi kalder sidelængden for a, lyder formlen således:
Lad os kigge på et eksempel, hvor vi har et kvadrat med en sidelængde på 6 cm, så vi sætter 6 ind på a’s plads i formlen.
Kvadratets areal er dermed 36 cm² (36 kvadratcentimeter).
Hvordan finder man omkredsen af et kvadrat?
Man finder omkredsen (O) af et kvadrat ved at gange sidelængden med 4, fordi de fire sidelængder som nævnt er lige lange. Formlen lyder således:
Vi kigger igen på et eksempel, hvor vi har et kvadrat med en sidelængde på 6 cm, så vi sætter 6 ind på a’s plads i formlen.
Altså har vores kvadrat en omkreds på 24 cm.
Hvordan finder man diagonalen i et kvadrat?
En diagonal er en linje, der går fra et hjørne til det modsatte hjørne. Et kvadrat har to diagonaler, som er lige lange, og som på billedet nedenunder er kaldt d₁.
Man kan finde længden af diagonalen i et kvadrat ved hjælp af Pythagoras’ sætning, men i et kvadrat er sidelængderne lige lange, så der er ikke forskel på a og b. Formlen lyder derfor:
Lad os beregne et eksempel. Vi vil gerne finde diagonalen i et kvadrat, hvor sidelængderne er 5 cm, så vi sætter 5 ind på a’s plads i formlen:
Altså er diagonalen i kvadratet 7,07 cm.
Hvor stor er sidelængden i et kvadrat, der har arealet A?
Hvordan finder man sidelængden af et kvadrat, når man kender arealet? Vi ved, at formlen for arealet af et kvadrat er:
Men nu kender vi arealet A og vil finde sidelængden a, så vi skal isolere a i formlen ved at tage kvadratroden på begge sider af lighedstegnet.
Vi kender nu vores formel. Vi forestiller os, at vi har et kvadrat med et areal på 49 cm², så vi sætter 49 ind på A’s plads i formlen for at finde sidelængden a.
Sådan har vi beregnet, at kvadratet har en sidelængde på 7 cm.
Hvad er et rektangel?
Et rektangel er en firkant, hvor alle fire hjørner er retvinklede, og hvor de fire sider er parvist lige lange. Som du kan se på billedet nedenfor, er siderne a lige lange, og siderne b er lige lange. Siderne a og b kan også være lige lange som i et kvadrat. Det betyder, at et kvadrat også er et rektangel, men et rektangel er kun et kvadrat, hvis sidelængderne er lige lange.
Hvordan finder man arealet af et rektangel?
Man finder arealet af et rektangel ved at gange sidelængderne med hinanden. Med sidelængderne a og b lyder formlen således:
Lad os beregne et eksempel, hvor vi har et rektangel med sidelængderne 12 cm og 8 cm. Vores regnestykke ser derfor sådan ud:
Rektanglet har dermed et areal på 96 cm²
Hvordan finder man omkredsen af et rektangel?
Man finder omkredsen af et rektangel ved at lægge alle sidelængderne sammen. Som nævnt er siderne parvist lige lange, så vi har to a og to b.
Igen tager vi et eksempel, hvor vi har et rektangel med sidelængderne 12 cm og 8 cm.
Sådan har vi beregnet, at vores rektangel har en omkreds på 40 cm.
Hvordan finder man diagonalen i et rektangel?
For at finde diagonalen i et rektangel skal man igen bruge en variant af Pythagoras’ sætning. I et rektangel er de to diagonaler lige lange, og vi kalder dem d₁:
Formlen for diagonalerne i et rektangel er:
Vi tager et eksempel. Vi har et rektangel, hvor sidelængden a er 16 cm, og hvor sidelængden b er 12 cm. Så får vi følgende regnestykke:
Altså har begge diagonaler en længde på 20 cm.
Hvad er en rombe?
En rombe (som også kan staves rhombe) er en firkant, hvor alle fire sider er lige lange, og hvor vinklerne er parvist lige store.
Hvordan finder man arealet af en rombe?
Man kan finde arealet af en rombe ved at gange grundlinjen med højden. Højden går vinkelret ned på grundlinjen, som vist på dette billede:
Formlen lyder derfor sådan her:
Vi tager et eksempel. Vi har en rombe med en sidelængde/grundlinje på 5 cm og en højde på 4,7 cm. Vores regnestykke ser dermed sådan her ud:
Romben har et areal på 23,5 cm².
Man kan også beregne arealet af en rombe, hvis man kender størrelsen på (en af) vinklerne α og β.
Så skal man bruge en af disse formler:
Man opløfter a i anden og ganger med sinus til en af vinklerne. Lad os sige, at vi igen har en rombe med en sidelængde på 5 cm, og vinklen α er 70 grader. Vi får dette regnestykke:
Altså har vi på en anden måde beregnet, at romben har et areal på 23,5 cm².
Vi får samme resultat, hvis vi ganger med sinus til den anden størrelse vinkel β, som jo så må være 110 grader (fordi vinkelsummen i en rombe er 360 grader – ligesom i alle firkanter).
Hvordan finder man omkredsen af en rombe?
Man finder omkredsen af en rombe ved at gange sidelængden med 4, fordi de fire sidelængder som nævnt er lige lange. Formlen lyder således:
Det er derfor samme formel, som vi så ved omkredsen af et kvadrat, men for god ordens skyld kan vi vise endnu et eksempel. Vi beregner omkredsen af en rombe med en sidelængde på 5 cm.
Altså har vores kvadrat en omkreds på 20 cm.
Hvordan finder man diagonalen i en rombe?
I en rombe er de to diagonaler ikke nødvendigvis lige store, så for at vise forskellen kalder vi dem d₁ og d₂. Diagonalen d₁ går mellem vinklerne α, og diagonalen d₂ går mellem vinklerne β.
For at finde diagonalerne af en rombe skal man bruge disse formler:
Bemærk, at vi nu skal finde cosinus til en vinkel.
Lad os beregne et eksempel. Vi har en rombe med en sidelængde på 5 cm, og vinklerne α er 70 grader. Vi ønsker at finde begge diagonaler.
Sådan har vi beregnet, at diagonalen d₁ er 8,19 cm, og at diagonalen d₂ er 5,74 cm.
Hvad er et parallelogram?
Et parallelogram er en firkant, hvor de fire sider er parvist lige lange, og hvor vinklerne er parvist lige store.
Hvordan finder man arealet af et parallelogram?
Man kan finde arealet af et parallelogram ved at gange grundlinjen med højden. Som tidligere vist går højden vinkelret ned på grundlinjen, som vist på dette billede:
Formlen er dermed:
Lad os beregne et eksempel. Vi har et parallelogram med en grundlinje på 16 cm og en højde på 7,25 cm, så vi får dette regnestykke:
Parallelogrammet har dermed et areal på 116 cm².
Ligesom ved romben kan man også beregne arealet af et parallelogram, hvis man kender størrelsen på (en af) vinklerne α og β.
Så lyder formlerne:
Vi beregner et eksempel, hvor vi kender sidelængderne (a = 16 cm og b = 8 cm), og hvor vi kender vinklerne (α = 65 grader og β = 115 grader).
Ligesom ved romben er det lige meget, om man tager sinus til den ene eller den anden vinkelstørrelse. Hvis man kender den ene vinkelstørrelse, kender man også den anden, fordi vinkelsummen i et parallelogram er 360 grader. Vores regnestykke kan derfor se ud på disse to måder:
Altså har vi igen beregnet, at parallelogrammet har et areal på 116 cm².
Hvordan finder man omkredsen af et parallelogram?
For at finde omkredsen af et parallelogram skal man bruge samme formel, som vi så ved rektanglet, fordi parallelogrammets sidelængder ligeledes er parvist lige store.
Vi kan beregne et eksempel, hvor sidelængderne er 16 cm og 8 cm.
Parallelogrammet har dermed en omkreds på 48 cm.
Hvordan finder man diagonalen i et parallelogram?
I parallelogrammet er de to diagonaler heller ikke nødvendigvis lige store, så dem kalder vi også d₁ og d₂.
Vi skal bruge cosinus til at finde de to diagonaler. Formlerne for de to diagonaler er:
Vi kigger igen på et eksempel. Vi har et parallelogram med sidelængderne a = 5 cm og b = 4 cm og vinklerne α = 65 grader og β = 115 grader.
Diagonalen d₁ er dermed 7,6 cm, og diagonalen d₂ er 4,9 cm.
Hvad er et trapez?
Et trapez er en firkant, hvor to af siderne er parallelle. Hvis de to ikke-parallelle sider er lige lange, kaldes figuren en ligebenet trapez. På trapezen nedenfor er sidelængderne b lige lange. Det betyder også, at vinklerne er parvist lige store.
Et trapez kan også være retvinklet, hvis det har to eller fire rette vinkler. Det retvinklede trapez nedenfor har to rette vinkler (og et trapez med fire rette vinkler vil man typisk kalde et rektangel).
Et trapez behøver hverken være ligebenet eller retvinklet – det skal bare have to sidelængder, der er parallelle, som a og c nedenfor er.
Hvordan finder man arealet af et trapez?
For at finde arealet af et trapez skal man lægge de to parallelle sider sammen og gange med højden, og dette skal man gange med 1/2 (eller dividere med 2). Det ligner dermed næsten formlen for arealet af et parallelogram, fordi to trapezer bliver til et parallelogram, når man roterer den ene 180 grader og sætter ved siden af den anden, som vist her:
Formlen for arealet af et trapez lyder dermed således:
Lad os tage et eksempel. Vi har et trapez, hvis parallelle sidelængder er 3 cm og 6 cm, og hvis højde er 4,5 cm.
Trapezet har dermed et areal på 20,25 cm².
Igen kan det være, at man ikke kender højden, men man kender derimod sidelængderne og (nogle af) vinklerne. Vinklerne α og β udgør tilsammen 180 grader, og ligeledes udgør vinklerne γ og δ 180 grader tilsammen.
Hvis man kender vinklerne, kan man derfor bruge disse formler til at beregne arealet af et trapez:
Vi kigger på et eksempel. Vi har et trapez, hvor vi kender tre sidelængder (a = 3,5 cm, c = 7 cm, d = 4,5 cm) og en vinkel (γ = 50 grader). Disse tal sætter vi ind i formlen:
Sådan har vi beregnet, at trapezet har et areal på 18,1 cm².
Hvordan finder man omkredsen af et trapez?
Man finder omkredsen af et trapez ved at lægge de fire sidelængder sammen. Som vi har set, kan disse fire sider have fire forskellige længder, så generelt lyder formlen:
Hvordan finder man diagonalen i et trapez?
Hvis trapezet er ligebenet, er de to diagonaler lige lange, men de er ikke lige lange, hvis trapezet ikke er ligebenet, som herunder:
Formlerne for diagonalerne d₁ og d₂ er følgende:
Der er to formler for hver, så du kan vælge den, der passer, alt efter hvilke sidelængder og vinkler du kender.
Lad os sige, at vi vil finde længden på d₁ i et trapez. Trapezet har følgende sidelængder: a = 8 cm og b = 6 cm. Vi kender vinklen α, som er 120 grader. Vi skal derfor bruge den øverste formel, og vi får dette regnestykke:
Diagonalens længde er dermed 12,2 cm.
Oversigt over de forskellige firkanter
Nu har vi gennemgået formlerne for areal, omkreds og diagonaler i fem forskellige slags firkanter. Her til sidst har vi samlet en oversigt, så du kan se, hvad der præcis kendetegner et rektangel, et parallelogram og de andre firkanter, samt hvad forskellene på firkanterne er.
Sider | Vinkler | |
Kvadrat | Alle sider er lige lange | Alle vinkler er rette |
Rektangel | Siderne er parvist lige lange | Alle vinkler er rette |
Rombe | Alle sider er lige lange | Vinklerne behøver ikke at være rette |
Parallelogram | Siderne er parvist lige lange | Vinklerne behøver ikke at være rette |
Trapez | To af siderne er parallelle | Vinklerne behøver ikke at være rette |
Hvad er forskellen mellem et kvadrat og et rektangel?
I både kvadratet og rektanglet er alle fire vinkler rette.
Forskellen mellem et kvadrat og et rektangel er, at i kvadratet skal siderne være lige lange, men det behøver de ikke være i et rektangel. Et kvadrat er derfor også en slags rektangel, men et rektangel er ikke en slags kvadrat.
Hvad er forskellen mellem en rombe og et parallelogram?
I både romben og parallelogrammet er vinklerne parvist lige store.
Forskellen mellem en rombe og et parallelogram er, at i romben skal siderne være lige lange, men det behøver de ikke være i et parallelogram. En rombe er derfor også en slags parallelogram, men et parallelogram er ikke en slags rombe.
Hvad er forskellen mellem et kvadrat og en rombe?
I både kvadratet og romben er alle sider lige lange.
Forskellen mellem et kvadrat og en rombe er, at i kvadratet skal alle vinklerne være rette, men det behøver de ikke være i en rombe. Et kvadrat er derfor også en slags rombe, men en rombe er ikke en slags kvadrat.
Hvad er forskellen mellem et rektangel og et parallelogram?
I både rektanglet og parallelogrammet er siderne parvist lige lange.
Forskellen mellem et rektangel og et parallelogram er, at i rektanglet skal alle vinklerne være rette, men det behøver de ikke være i et parallelogram. Et rektangel er derfor også en slags parallelogram, men et parallelogram er ikke en slags rektangel.