En cirkel er en rund figur, som har et areal og en omkreds. En cirkels areal svarer til, hvor stor dens flade er, og en cirkels omkreds svarer til, hvor langt der er rundt om cirklen. I dette indlæg viser vi en række formler, som du kan bruge til at finde arealet, omkredsen, radiussen eller diameteren af en cirkel, når du kender mindst ét af de andre mål.
Vi kommer ind på:
Hvordan finder man arealet af en cirkel?
Hvordan finder man omkredsen af en cirkel?
Hvordan finder man radius af en cirkel, når man kender arealet?
Hvordan finder man diameteren af en cirkel, når man kender arealet?
Hvordan finder man radius af en cirkel, når man kender omkredsen?
Hvordan finder man diameteren af en cirkel, når man kender omkredsen?
Hvordan finder man arealet af en cirkel, når man kender omkredsen?
Hvordan finder man omkredsen af en cirkel, når man kender arealet?
GoTutor har mange års erfaring med lektiehjælp i matematik, og du kan få hjælp til lige det, som du har svært ved i matematikfaget.
Hvordan finder man arealet af en cirkel?
For at finde arealet af en cirkel skal man opløfte cirklens radius i anden potens og gange med pi (≈ 3,14). Formlen for arealet af en cirkel ser sådan ud:
A står for ‘areal’, r står for ‘radius’, og 𝝅 er tallet pi, som er 3,14159… (med uendeligt mange decimaler).
En cirkels radius er afstanden fra cirklens centrum ud til cirklens periferi. På billedet nedenunder er radiussen vist med den stiplede linje, som går fra centrum (ved den grønne prik) til periferien (som ved den gule prik). Periferien er ethvert punkt på den blå linje, som alle har samme afstand til centrum.
Lad os kigge på et eksempel. Vi vil beregne arealet af en cirkel, der har en radius på 4 cm.
Vi sætter derfor 4 ind på r’s plads i formlen og får dette resultat:
Vi afrunder typisk med to decimaler, så vores svar er, at cirklens areal er omkring 50,27 cm² (50,27 kvadratcentimeter).
Hvordan finder man omkredsen af en cirkel?
For at finde omkredsen af en cirkel skal man gange cirklens diameter med pi. Formlen for omkredsen af en cirkel ser sådan ud:
O står for ‘omkreds’, d står for ‘diameter’, og 𝝅 er som nævnt tallet pi (≈ 3,14).
En cirkels diameter er afstanden fra periferi til periferi igennem centrum. Det vil sige, at en cirkels diameter er dobbelt så lang som radiussen, og ligeledes er radiussen halvt så lang som diameteren.
Vi kigger på et eksempel. Vi har den samme cirkel fra før, hvor diameteren er 8 cm, og nu vil vi gerne beregne omkredsen af cirklen.
Sådan har vi beregnet, at cirklens omkreds er cirka 25,13 cm.
Fordi diameteren er det samme som to gange radius, kan formlen også se sådan her ud:
Hvordan finder man radius af en cirkel, når man kender arealet?
Vi har set, hvordan man finder en cirkels areal, når man kender cirklens radius. Man bruger denne formel:
Men hvad gør man, hvis man omvendt kender arealet og gerne vil finde radiussen? For at finde radiussen skal vi isolere r i formlen, dvs. at r skal stå alene på den ene side af lighedstegnet, mens de andre tal og variabler står på den anden side af lighedstegnet.
Først flytter vi pi over på den anden side. I formlen skal man gange med pi, så vi bruger den modsatte funktion, nemlig at dividere med pi – på begge sider af lighedstegnet:
For at lave r² om til r skal vi bruge den modsatte funktion af at opløfte i anden, nemlig at tage kvadratroden på begge sider af lighedstegnet:
Når man kender arealet af en cirkel og skal finde dens radius, skal man derfor bruge denne formel:
Lad os beregne et eksempel, hvor vi har en cirkel med et areal på 20 cm².
Sådan har vi beregnet, at en cirkel med et areal på 20 cm² har en radius på cirka 2,52 cm.
Hvordan finder man diameteren af en cirkel, når man kender arealet?
Når vi kender arealet af en cirkel, kan vi også finde diameteren på næsten samme måde som før, fordi diameteren som nævnt er dobbelt så lang som radiussen. Formlen ser sådan ud:
Cirklen med et areal på 20 cm² har dermed en diameter på cirka 5,05 cm (dobbelt så lang som radiussen).
Hvordan finder man radius af en cirkel, når man kender omkredsen?
Vi har set, at formlen til at finde omkredsen af en cirkel, når man kender dens radius, ser sådan her ud:
Hvis vi omvendt skal finde en cirkels radius, når vi kender omkredsen, skal vi isolere r i ligningen. I formlen ganger vi med pi, så vi starter med at dividere med pi på begge sider af lighedstegnet:
For at lave 2r om til r skal vi dividere med 2 på begge sider af lighedstegnet:
Når man kender omkredsen af en cirkel og skal finde dens radius, skal man derfor bruge denne formel:
Vi ser på et eksempel, hvor vi har en cirkel med en omkreds på 35 cm. Vi sætter derfor 35 ind på O’s plads i formlen:
Sådan har vi beregnet, at en cirkel med en omkreds på 35 cm har en radius på cirka 5,57 cm.
Hvordan finder man diameteren af en cirkel, når man kender omkredsen?
Igen er formlen næsten den samme som før, fordi diameteren er dobbelt så lang som radiussen.
Cirklen med en omkreds på 35 cm har dermed en diameter på cirka 11,14 cm (dobbelt så lang som radiussen).
Hvordan finder man arealet af en cirkel, når man kender omkredsen?
Vi har to ligninger, hvor vi har isoleret r. Man kan bruge den ene til at finde arealet af en cirkel, nemlig denne:
Man kan bruge den anden til at finde omkredsen af en cirkel, nemlig denne:
Når kvadratroden af A divideret med 𝝅 og O divideret med 2𝝅 begge har samme værdi som r, har de også samme værdi som hinanden:
Når vi kender omkredsen af en cirkel og vil finde arealet, skal vi have isoleret A i formlen. Først fjerner vi kvadratroden ved at opløfte i anden potens på begge sider af lighedstegnet:
På venstre side af lighedstegnet er A divideret med pi, så hvis der kun skal stå A, skal vi gange med pi på begge sider:
Nu har vi isoleret A og dermed fundet formlen.
Lad os derfor se på et eksempel. Vi har en cirkel med en omkreds på 18 cm, og vi er interesserede i at beregne arealet. Vi sætter 18 ind på O’s plads i ligningen.
Sådan har vi beregnet, at en cirkel med en omkreds på 18 cm har et areal på cirka 25,78 cm².
Hvordan finder man omkredsen af en cirkel, når man kender arealet?
Ovenover har vi fundet sammenhængen mellem omkreds og areal i en cirkel med denne formel:
Før isolerede vi A, men nu er vi interesserede i at finde omkredsen, så nu isolerer vi O i ligningen. Det kan vi gøre ved at gange med 2𝝅 på begge sider af lighedstegnet:
Nu har vi isoleret O og dermed fundet formlen.
Lad os se på et eksempel. Vi har en cirkel med et areal på 50 cm², og vi vil beregne omkredsen. Regnestykket ser sådan ud:
Cirklens omkreds er cirka 25,07 cm.
Areal og omkreds af cirkel
En cirkel er en todimensionel figur. Det betyder, at man kan beregne arealet af en cirkel (hvor stor dens flade er), og man kan beregne omkredsen af en cirkel (hvor langt der er rundt om cirklen). Man kan ikke tale om at finde rumfanget af en cirkel eller overfladearealet af en cirkel, for det kun gælder ved tredimensionelle figurer.
Se på figurerne nedenunder. De gule figurer (en cirkel og en rektangel) har to dimensioner, og de grønne figurer (en cylinder og en kasse) har tre dimensioner. Todimensionelle figurer er flade, mens tredimensionelle figurer har dybde.
