I dette indlæg skal du lære om et parallelogram og andre flade firkantede figurer, der er beslægtede med parallelogrammet. Vi befinder os inden for det område af matematikken, der hedder geometri. Geometri omhandler det at genkende former og det at lave forskellige beregninger, der kan omfatte en-, to- og tredimensionelle former. Det er spændende at lære om figurerne, fordi de findes omkring os i vores omgivelser, hvis vi kigger os godt for. Har du lagt mærke til formen på dit spisebord – rektangel, cirkel eller ellipse måske?
Vi kommer ind på:
· Introduktion til geometriske former
· Parallelt – hvordan?
· Hvad er et parallelogram?
· Arealberegning og beregning af omkreds
· Beslægtede figurer: rektangel, kvadrat, rombe og trapez
· Hvor kan vi observere geometrien i vores omgivelser?
· Afrunding af emne
Introduktion til geometriske former
Ved at arbejde med egenskaberne for et parallelogram og andre geometriske figurer kan du lære at genkende mønstre og dermed analysere velkendte ting i din hverdag. Figurer findes overalt. De kan indgå i design af bygninger og møbler samt opdages i kunst og endda i naturen. Ved at lære om figurer kan du blive bedre til at forstå og beskrive, hvordan ting ser ud, og hvilke former, de består af. Tænk nu, hvis du skulle bygge en bro eller et hus. Her er det godt at vide noget om former og beregninger.
Parallelt – hvordan?
Et parallelogram er en bestemt slags firkant. Det er en todimensionel - dvs. flad - figur med i alt fire sider. Siderne, der ligger overfor hinanden, kalder man også de modstående sider. Det, der er det særlige, er, at de modstående sider altid er parallelle. Man kan eksempelvis forlænge de modstående sider uendeligt, og de vil aldrig mødes eller krydse. Forestil dig to stier igennem et landskab. Hvis to personer går ad hver sin parallelle sti (og i det samme tempo), vil de blive ved med at være lige langt fra hinanden. Her er de to parallelle stier (linjer):
Den følgende figur viser et parallelogram, hvor to af de parallelle sider er forlænget:
Hvad er et parallelogram?
Nu ved vi, at de modstående sider i et parallelogram altid er parallelle. Se på figuren nedenfor. Siderne overfor hinanden er parallelle. Figuren er et parallelogram:
Det kan dog kun lade sig gøre, at de modstående sider er parallelle, når siderne også er parvis lige lange. Hvis siden b på figuren ovenfor er 10 cm, er siden overfor (siden d) også 10 cm. Og tilsvarende med de to andre modstående sider a og e.
Der er andre faktorer, der gør sig gældende for et parallelogram, og som hænger sammen med det, du allerede har lært:
Vinklerne, der ligger skråt overfor hinanden (diagonalt), er lige store. Der er ikke nogen regel for, hvor store vinklerne skal være, eller at de skal være 90o – altså rette vinkler. De KAN godt være 90o. Hvis de er det, bliver parallelogrammet sammenfaldende med en anden firkantet figur: et rektangel. Den type figur vender vi tilbage til i afsnittet om beslægtede geometriske figurer.
Vinkelstørrelser kan variere blot med den regel, at de modstående vinkler skal være lige store. Her ses et parallelogram med vinkelstørrelser:
Vi kan observere, at to af vinklerne er 111,8o og to af vinklerne 68,2o. Læg mærke til deres placering overfor hinanden.
Én ting mere, der skal nævnes om vinklerne er, at to vinkler, der ligger ved siden af hinanden, altid har en sum på 180o. Det hænger sammen med, at vinkelsummen i den samlede figur altid er 360o.
Det sidste, vi skal have med i forhold egenskaberne for et parallelogram, er figurens diagonaler. Her ses de to diagonaler:
Diagonalerne i et parallelogram deler hinanden i to lige store dele, dvs. at de skærer hinanden præcis på midten. Det betyder også, at man kan finde centrum af figuren ved at tegne dens diagonaler og aflæse deres skæringspunkt.
Diagonalerne deler også hver især parallelogrammet i to lige store dele. Se eksemplet med den ene diagonal her:
I næste afsnit skal vi se på, hvordan man beregner arealet. Men vi kan allerede prøve at forestille os f.eks. en mark, der har form præcis som et parallelogram, og hvor halvdelen skal udlægges til et græsareal til dyrene. Landmanden, som ejer marken, kan bruge diagonalopdelingen. Så får han to lige store dele. Han kan også dele arealet på andre måder. Diagonalen er selvfølgelig ikke den eneste måde at dele figuren i to.
Arealberegning og beregning af omkreds
Lad os nu kigge mere på, hvilke andre beregninger, man kan lave for et parallelogram. Som nævnt i starten handler geometri også om at lære at udføre beregninger. Vi kan beregne arealet. Dertil har vi brug for to mål: højden og grundlinjen (lilla farve):
Grundlinjen svarer til en af siderne. Højden svarer til en linje, der står vinkelret på grundlinjen, og afstanden mellem denne grundlinje og den modstående side. Ligesom i eksemplet. Vores arealformel er:
A (areal) = H (højde) * G (grundlinje)
Lad os tage eksemplet, hvor vi kan aflæse, at højden er 5 og grundlinjen er 10:
A = 5 * 10 <=> A = 50
Det giver måske endnu bedre mening, at formlen for arealberegning ser ud på den måde, hvis vi prøver at ”rette parallelogrammet op”:
Her ser vi igen højde og grundlinje, men denne gang er højden sammenfaldende med den lodrette side.
Vi kan også beregne omkreds. Omkredsen svarer til længden af de fire sider tilsammen. Forestil dig, at det var et hegn, som landmanden skulle sætte op omkring sin parallelogram-formede mark. Han skulle da beregne omkredsen for at finde ud af, hvor meget hegn, han skulle købe.
Omkredsen beregnes:
O (omkreds) = 2* (længde + bredde)
Her skal vi være opmærksomme på, at bredde IKKE er det samme som højden, vi talte om før. Bredde er sidens mål ligesom her i eksemplet, hvor bredden er 5,39:
Vi bemærker, at man kun behøver at måle to af siderne, da de som nævnt er parvis lige lange.
Hvis vi bruger formlen til beregning af omkredsen, kan det gøres således:
O = 2 (10+5,39) <=> O = 2 15,39 <=> O = 30,78
Vi har med vilje ikke sat nogle enheder på tallene: cm, m osv. Hvis det var landmandens mark og hegn, som vi havde udført vores beregninger på, ville vi skulle arbejde med målestoksforhold, for at tegning og virkelighed passer sammen. Målestoksforhold kommer som et af de næste blogindlæg her på vores matematikblog, hvor I kan læse om mange forskellige emner inden for matematik.
Beslægtede figurer: rektangel, kvadrat, rombe og trapez
Der findes beslægtede geometriske figurer, som også er firkanter. Nogle af de figurers egenskaber overlapper med egenskaberne for et parallelogram. De ER parallelogrammer samtidig med, at de også har et andet navn. En geometrisk figur kan altså godt have flere navne (figurbetegnelser) på én gang!
De tre første figurer, der gennemgås, er også parallelogrammer. Den sidste figur er ikke et parallelogram, men er alligevel beslægtet med de andre figurer. Lad os gennemgå dem én for én.
Rektangel
Et rektangel er også et parallelogram! Dets modstående sider er parallelle og lige lange.
Nyt: Rektanglet har blot ALTID fire rette vinkler. Her ses et eksempel:
-
Kvadrat
Et kvadrat er også et parallelogram, og det er også et rektangel! Dets modstående sider er parallelle og lige lange. Det har ALTID fire rette vinkler.
Nyt: Kvadratets fire sider er også ALTID lige lange. Her ses et eksempel:
-
Rombe
En rombe er også et parallelogram, og den KAN også være et rektangel eller et kvadrat! Dens modstående sider er parallelle og lige lange.
Nyt: Rombens vinkler behøver ikke at være 90o, dvs. rette vinkler. Men hvis rombens vinkler er 90o er den også et rektangel og et kvadrat – ellers ikke. Her ses et eksempel på en rombe, som selvfølgelig er et parallelogram men ikke hverken et rektangel eller et kvadrat:
-
Trapez
Et trapez er IKKE et parallelogram! Grunden til, at figuren er med i gennemgangen her, er, at det stadig er en firkant, der har parallelle sider - dog kun et sæt.
Nyt: Trapezet har kun to modstående sider, der er parallelle. Vinklerne varierer og er ikke parvis ens. Her ses et eksempel:
Det var noget om de beslægtede firkanter. Parallelogrammet er altså en figur, der har flere slægtninge, end man lige går og tror! Nu kan vi forhåbentlig genkende flere figurer, og vi kender noget til deres egenskaber. Måske vil du gerne finde ud af mere om areal, omkreds og andre beregninger for firkanter, som dette indlæg ikke behandler.
Hvor kan vi observere geometrien i vores omgivelser?
Vi kan observere figurer og former overalt, hvis vi kigger os godt omkring. Se bare på en dør, en gavl, et skråvindue, en flisegang osv. Vi har også samlet et par eksempler her:
Når du lærer en geometriske former, lærer du måske også at have en tilgang til dine omgivelser, der er anderledes end før. Og selvfølgelig lærer du at beregne og måle.
Afrunding af emne
Efter denne gennemgang af parallelogrammet og dets beslægtede figurer håber vi, at du vil gå ud med et nysgerrigt blik og observere og lægge mærke til alle de forskellige former, figurer og rum, som verden består af. Vi er startet i det konkrete. Vi ved nu, at et parallelogram er karakteriseret ved:
· modstående sider, som er parallelle og lige lange
· modstående vinkler, som er ens
· diagonaler, der deler hinanden på midten - lige netop midt i figuren
· diagonaler, der hver især deler figuren i to lige store halvdele
I dette indlæg har vi gennemgået todimensionelle (flade) figurer. Hvis du er interesseret i at lære noget om tredimensionelle figurer, f.eks. cylinder, kegle eller kugle, kan du eventuelt læse vores blogindlæg om rumfang og overfladeareal
Husk også, at hvis du har brug for mere hjælp, tilbyder GoTutor lektiehjælp i matematik.