Potenser og rødder: En gennemgang af alle de vigtige regneregler med eksempler

Potenser og rødder bruges til mange ting inden for matematikken: til at beregne arealer og rumfang, til at beregne ligninger, til at gøre meget store og meget små tal overskuelige, og meget, meget mere.

I dette indlæg kommer vi først ind på det grundlæggende:

• Hvad er potenser og rødder?
  

• At gange et tal med sig selv x antal gange
  
  

Dernæst ser vi på, hvilke regneregler der gælder for potenser:

• Hvordan ganger man potenser?
  

• Hvordan dividerer man potenser?
  

• Hvordan udregner man potensen af en potens?
  

• Hvordan udregner man potensen af en brøk?
  
  

Ligeledes ser vi på, hvilke regneregler der gælder for rødder:

• Hvordan ganger man rødder?
  

• Hvordan dividerer man rødder?
  

• Hvordan udregner man roden af en rod?
  

• Hvordan udregner man roden af en potens?
  
  

Regnereglerne beskæftiger sig med positive tal, så vi kigger også på beregninger med potenser og rødder, der ikke er positive:

• Hvordan regner man potens med et negativt grundtal?
  

• Hvordan regner man rod med en negativ radikand?
  

• Hvordan regner man potens med en negativ eksponent?
  

• Hvad hvis eksponenten er 0?
  
  

Vi slutter med et par øvrige punkter, der er også værd at vide om potenser og rødder:

• Potenserne og røddernes plads i regnearternes hierarki
  

• Hvad er 10-talspotenser?

Hvad er potenser og rødder?

Potensregning går ud på at gange et tal med sig selv et bestemt antal gange. Fx er 3² (som siges “3 i anden” eller “3 løftet i anden potens”) det samme, som hvis vi sagde 3 x 3. På samme måde er 3³ det samme som at sige 3 x 3 x 3.

Vi kan skrive det mere generelt med variabler sådan her:

Vi kalder a for grundtallet og n for eksponenten. Faktorer er de tal, som man ganger sammen.

Omvendt går rødder ud på at finde det tal, der ganget med sig selv et bestemt antal gange giver tallet, som roden viser. En rod kan fx se sådan her ud:

Det kaldes en kvadratrod (i dette tilfælde er det “kvadratroden af 9”), og regnestykket går ud på at finde et tal, der ganget med sig selv giver 9:

Svaret er 3. En rod kan også se sådan her ud:

Denne kaldes en kubikrod, og her går regnestykket ud på at finde et tal, der ganget med sig selv to gange giver 27, altså sådan her:

En rod kan generelt skrives sådan:

Vi kalder a for radikanden og n for rodeksponenten.

Som du måske allerede har gennemskuet, er der en sammenhæng mellem rødder og potenser, nemlig at de er hinandens modsatte funktioner. Når man løfter et tal i anden potens og derefter finder kvadratroden af det, er man tilbage ved sit grundtal i potensen. Det samme gælder, når man løfter et tal i tredje potens og derefter finder kubikroden af det.

Bemærk at kvadratroden almindeligvis ikke har et 2-tal stående på rodeksponentens plads.

En kvadratrod kan også kaldes for “den anden rod”. Som nævnt kaldes en rod med 3 i rodeksponenten for en kubikrod, men man kan ligeledes sige “den tredje rod”. En rod med 4 i rodeksponenten kaldes “den fjerde rod”, osv.

For at opsummere:

• Anden potens er det modsatte af kvadratrod
  

• Tredje potens er det modsatte af kubikrod
  

• Fjerde potens er det modsatte af den fjerde rod
  

• Femte potens er det modsatte af den femte rod
  

…

• n’te potens er det modsatte af den n’te rod
  

Dette gælder for positive tal. Vi kommer ind på negative tal senere.

At gange et tal med sig selv x antal gange

Vær opmærksom på at have det rigtige antal, når du skal gange et tal med sig selv x antal gange:

Der er altså ikke sammenhæng mellem tallet i (rod)eksponenten og det antal gange, som man ganger grundtallet med sig selv. Der er derimod sammenhæng mellem tallet i (rod)eksponenten og antal ens faktorer (dvs. det antal gange, som grundtallet optræder i gangestykket).

Fx har vi tre faktorer herunder, så det er denne opsætning, som vi skal huske, når vi skal opløfte i tredje potens eller finde kubikroden (den tredje rod).

Men vi siger “x gange x gange x”, og det er grunden til, at man ganger x med sig selv to gange.

Hvordan regner man med potenser?

Vi vil nu gennemgå en række regneregler for potenser.

Hvordan ganger man potenser?

Når man skal gange to potenser, der har samme grundtal, skal man blot lægge de to eksponenter sammen. Eksempel:

De to potenser har begge 5 som grundtal, så når vi skal gange disse to med hinanden, skal vi lægge de to eksponenter (2 og 4) sammen, mens grundtallet forbliver det samme.

Generelt kan reglen skrives sådan:

Når man skal gange to potenser, der har samme eksponent, skal man gange de to grundtal sammen. Eksempel:

De to potenser har begge 8 som eksponent, så når vi skal gange dem med hinanden, skal vi gange grundtallene (4 og 3) sammen, mens eksponenten forbliver den samme. Vi viser med en parentes, at gange skal komme før potensen.

Generelt kan reglen skrives sådan:

Hvordan dividerer man potenser?

Når man skal dividere en potens med en anden potens, der har samme grundtal, skal man blot trække eksponenterne fra hinanden. Eksempel:

De to potenser har begge 7 som grundtal, så når vi skal dividere dem, skal vi trække de to eksponenter (6 og 4) fra hinanden, mens grundtallet forbliver det samme.

Generelt kan reglen skrives sådan:

Når man skal dividere to potenser, der har samme eksponent, skal man dividere de to grundtal. Eksempel:

De to potenser har begge 5 som eksponent, så når vi skal dividere dem, skal vi dividere grundtallene (6 og 3), mens eksponenten forbliver den samme. Vi viser med en parentes, at division skal komme før potensen.

Generelt kan reglen skrives sådan:

Hvordan udregner man potensen af en potens?

Når man skal udregne potensen af en potens, skal man blot gange de to eksponenter med hinanden. Eksempel:

Her skal vi gange eksponenterne 4 og 2 med hinanden.

Generelt kan reglen skrives sådan:

Denne regneregel kan vi også bruge til at vise, hvordan man omregner fra rod til potens. Eksempel:

Her er de to eksponenter 1/2 og 2 ganget med hinanden, hvilket giver en eksponent på 1. Når eksponenten er 1, er der ikke andre faktorer at gange med, så det er det samme som at skrive grundtallet, som her er 16.

Vi har ligeledes lært, at hvis man starter med at tage kvadratroden af et tal og derefter opløfter det i anden, er man tilbage ved sit udgangspunkt:

Man kan tage både 16 opløftet i 1/2 og kvadratroden af 16 og opløfte dem i anden, og i begge tilfælde vil facit være 16. Det betyder, at vi kan sætte lighedstegn mellem de to:

Mere generelt gælder det, at eksponenten viser en brøk med 1 i tælleren og rodeksponenten i nævneren.

Hvordan udregner man potensen af en brøk?

Når man har en brøk løftet i en potens, kan man indsætte eksponenten i både tælleren og nævneren i brøken. Eksempel:

Vi sætter eksponenten (2) ind hos både tæller (4) og nævner (7).

Den generelle regel kan skrives sådan:

Her må b ikke være 0, hvilket gælder generelt for nævneren i en brøk, fordi man ikke kan dividere med 0.

Hvordan regner man med rødder?

Vi har lige set en masse potensregneregler, så nu vil vi vise en række regneregler for rødder.

Hvordan ganger man rødder?

Når man skal gange to rødder, der har samme rodeksponent, skal man gange de to radikander sammen. Eksempel:

De to rødder har samme rodeksponent (3), så vi ganger radikanderne (8 og 27) sammen.

Den generelle regel skrives sådan:

Når man skal gange to rødder, der har samme radikand, skal man gange de to rodeksponenter sammen og opløfte radikanden i summen af de to rodeksponenter. Eksempel:

De to rødder har samme radikand (4), så vi ganger de to rodeksponenter (2 og 3) sammen, og vi finder summen af de to rodeksponenter ved at lægge dem sammen, og så opløfter vi radikanden i denne sum.

Husk, at kvadratrødder ikke behøver at have et 2-tal stående på rodeksponentens plads.

Den generelle regel skrives sådan:

Hvordan dividerer man rødder?

Når man skal dividere en rod med en anden rod, der har samme rodeksponent, skal man dividere de to radikander. Eksempel:

De to rødder har samme rodeksponent (2, fordi det er kvadratrødder), så vi dividerer de to radikander (36 og 4).

Den generelle regel skrives sådan:

Når man skal dividere to rødder, der har samme radikand, skal man gange de to rodeksponenter sammen og opløfte radikanden i differensen af de to rodeksponenter. Eksempel:

De to rødder har samme radikand (32), så vi ganger de to rodeksponenter (3 og 5) sammen, og vi finder differensen af de to rodeksponenter ved at trække dem fra hinanden, og så opløfter vi radikanden i denne differens.

Den generelle regel skrives sådan:

Hvordan udregner man roden af en rod?

Når man skal udregne roden af en rod, skal man blot gange de to rodeksponenter med hinanden. Eksempel:

Her skal vi gange rodeksponenterne 3 og 3 med hinanden.

Generelt kan reglen skrives sådan:

Hvordan udregner man roden af en potens?

Vi har naturligvis lært, at den n’te rod af aⁿ giver a. Men vi skal have en anden regel i brug, hvis potensens eksponent og rodens rodeksponent ikke er det samme tal.

Vi lærte i afsnittet om at finde potensen af en potens, at man kan omskrive en rod til en potens sådan her:

Hvis vi vil udregne roden af en potens, skal vi derfor sætte potensen ind på a’s plads og så omskrive til en potens, hvor vi kan gange eksponenterne med hinanden.

Vi kan fx tage den fjerde rod af 10 i tredje:

Generelt skrives reglen sådan:

Hvordan regner man potens med et negativt grundtal?

En potens, hvor grundtallet er negativt, ser fx sådan ud:

Her skal man gange -2 med sig selv. Som du måske ved, så gælder det, at minus gange minus giver plus. Generelt gælder det, at hvis grundtallet er et negativt tal og eksponenten er et lige tal, så vil facit blive et positivt tal. Men hvis grundtallet er negativt og eksponenten er et ulige tal, vil facit blive et negativt tal. Se her:

Hvordan regner man rod med en negativ radikand?

I forlængelse af det, som vi har skrevet ovenfor, er det kun muligt at tage roden af et negativt tal, hvis rodeksponenten er et ulige tal.

Vi har set, at både 2² og (-2)² giver 4. Men når vi tager kvadratroden af 4, vil vi imidlertid kun få 2 som resultat. Det er ikke muligt at tage kvadratroden (eller enhver anden lige rod) af et negativt tal.

Omvendt gælder det, at 2³ giver 8 og at (-2)³ giver -8. Der er derfor forskel på at tage kubikroden af 8 og af -8, som vist her:

Når man tager kubikroden (eller enhver anden ulige rod) af et negativt tal, får man ligeledes et negativt facit.

Hvordan regner man potens med en negativ eksponent?

En potens, hvor eksponenten er negativ, ser fx sådan her ud:

Vi kan finde resultatet ved at lave potensen om til en brøk. Her skal vi sætte 1 i tælleren og potensen i nævneren, men hvor eksponenten har omvendt fortegn. Sådan her:

Eksponenten -2 bliver til 2 i brøken. Nu kan vi nemt udregne, at 2 i anden giver 4, og at 1 divideret med 4 giver 0,25.

Den generelle regel kan skrives sådan:

Men hvorfor hænger det sådan sammen? Vi lærte i afsnittet om division med potenser, at man kan trække den ene eksponent fra den anden, når grundtallene er de samme. Hvis vi forestiller os et regnestykke, hvor den første eksponent derfor er mindre end den anden eksponent, vil vi ende med en negativ eksponent. Eksempel:

Men som vi ved fra brøker (ellers kan du læse vores indlæg om brøker), kan vi forkorte brøken. Potenserne viser som bekendt vores grundtal ganget med sig selv et bestemt antal gange, så vi kan ligeledes dividere med grundtallet flere gange.

I vores eksempel har vi divideret med 4 to gange i både tæller og nævner, så tælleren viser 1 (fordi 4 x 4 = 16 og 16 : 4 : 4 = 1). I nævneren har vi tre faktorer tilbage, så nævneren viser 4 i tredje.

Vi har nu beregnet brøken/divisionsstykket på to måder, og sådan har vi vist, at de to resultater giver det samme:

Hvad hvis eksponenten er 0?

Når eksponenten er 0, er facit altid 1. Det kan vi igen vise ved at beregne det samme regnestykke på to forskellige måder.

Som vi har set, kan man trække de to eksponenter fra hinanden, når grundtallene er de samme. Når eksponenterne også er de samme, resulterer det i en eksponent på 0.

Når brøken har samme tal i tæller og nævner, er resultatet 1. Man kan også sige, at et tal divideret med sig selv giver 1. Derfor gælder følgende regnestykke også:

Det betyder, at:

Vi kan skrive reglen mere generelt sådan:

Potenserne og røddernes plads i regnearternes hierarki

Vi ved, at potenser og rødder er hinandens modsatte funktioner. Potenser og rødder er derfor på samme niveau i regnearternes hierarki, så man regner potenser og rødder i rækkefølgen fra venstre til højre. Det eneste, som man skal udregne før rødder og potenser, er parenteser. Både gange, division, plus og minus skal udregnes efter rødder og potenser.

Hvad er 10-talspotenser?

10-talspotenser (eller 10’er-potenser) er brugbare, når man skal skrive meget store og meget små tal. Logikken er den samme, som vi har set indtil videre:

Og ligeledes:

Eksponenten passer med antal nuller.

Men man kan også få brug for at skrive store tal som fx 5 millioner, der ikke alene kan skrives med en potens, fordi der ikke er noget tal, der ganget med sig selv et bestemt antal gange giver 5 millioner. Man kan i stedet skrive det med en 10-talspotens således:

Hvis vi ganger med et decimaltal, er 10-talspotensen den samme. Det er kun, når vi skriver tallet ud, at vi skal huske at fjerne antal nuller, der svarer til antal decimaler. Vi kan fx skrive 8,32 milliarder på to måder sådan her:

I afsnittet om potenser med negative eksponenter lærte vi, at:

Så det gælder, at:

Tallet i eksponenten svarer til antal decimaler.

Ligesom vi så med 5 millioner, kan man også skrive tallet 5 milliontedele med en 10-talspotens ved at gange 5 foran.

Igen kan vi gange med et decimaltal, hvor 10-talspotensen vil være den samme, og igen ændrer tallet sig kun, når vi skriver tallet ud. Her skal vi både have antal decimaler, som svarer til tallet i eksponenten, plus antal decimaler i decimaltallet. Vi kan fx skrive 8,32 tusindedele på to måder sådan her:

Som du nok kan se, gælder det om at holde tungen lige i munden, når man skal regne med potenser og brøker. Hvis du har svært ved dette (eller andet inden for matematik), kan du finde lektiehjælp i matematik hos GoTutor.