Eulers tal: Lær om det særlige tal

I dette indlæg forklarer vi, hvad Eulers tal er for en størrelse. Det er det tal, som man skriver som e. Du er måske stødt på det, når har haft at gøre med logaritmer, differentialregning eller integralregning.

Vi kommer ind på følgende punkter:

• Hvad er Eulers tal?

• Baggrunden for Eulers tal

• Eulers tal differentieret og integreret

• Eulers tal opløftet i 0 og Eulers tal opløftet i 1

• Beregning af Eulers tal

• Hvorfor er Eulers tal 2,71828…?

Hvis du har svært ved matematik, tilbyder GoTutor lektiehjælp i matematik. Vi har søde, dygtige og erfarne undervisere, der kan hjælpe med lige præcis det, som du har svært ved.

Hvad er Eulers tal?

Eulers tal er et tal med en værdi på cirka 2,7182818284590452353602…, hvor decimalerne fortsætter i det uendelige. Eulers tal er dermed en matematisk konstant – det vil sige, at talværdien altid er den samme, nemlig cirka 2,71828… (på samme måde som pi er en matematisk konstant, der altid svarer til cirka 3,14).

Eulers tal er opkaldt efter Leonhard Euler, som var en schweizisk matematiker. Man skriver Eulers tal som e, og man kan derfor også kalde Eulers tal for ‘tallet e’ eller bare ‘e’.

e er et irrationelt tal, hvilket betyder, at man ikke præcist kan skrive det som en brøk eller et endeligt decimaltal, og det er derfor mere præcist at bruge e på sin lommeregner end at skrive decimaler.

Definitionen af Eulers tal er, at på ethvert punkt på funktionen f(x) = e^x (som man også kan skrive som y = e^x) er hældningskoefficienten for tangenten altid lig med y.

Når hældningskoefficienten for tangenten altid lig med y, betyder det, at den afledede funktion til en funktion svarer til funktionen selv – altså at f(x) = f’(x).

(Du kan læse mere om afledede funktioner i vores indlæg om differentialregning.)

e er også grundtallet for den naturlige logaritme, som man skriver som ln(x). Det betyder, at ln(e) = 1.

Baggrunden for Eulers tal

Selvom Eulers tal er opkaldt efter matematikeren Leonhard Euler, der fuldt ud udviklede matematikken bag Eulers tal, som vi kommer ind på senere, var det den schweiziske matematiker Jacob Bernoulli, der først opdagede Eulers tal ved at spørge: Hvad sker der, hvis man får renter løbende i stedet for årligt?

Lad os forestille os, at vi har 1.000 kroner stående på vores konto, og efter et år har vi fået 100 % i rente af vores meget generøse bank. Det betyder, at vi får yderligere 1.000 kroner og i alt har 2.000 kroner.

Men hvad hvis vi får 50 % i rente hvert halve år? Det beregner vi ved hjælp af procentregning:

• 1000 × 1,5 = 1500

• 1500 × 1,5 = 2250

Hvis vi fik 50 % i rente to gange om året i stedet for 100 % i rente én gang om året, ville vi have 2.250 kroner i stedet for 2.000 kroner efter et år, fordi vi har fået renter af renterne. Beløbet ville blive større endnu, hvis vi fik 25 % i rente fire gange om året:

• 1000 × 1,25 = 1250

• 1250 × 1,25 = 1562,5

• 1562,5 × 1,25 = 1953,125

• 1953,125 × 1,25 = 2441,40625

På et tidspunkt vil forskellen dog blive mindre. Hvis vi fik 1 % i rente 100 gange om året, ville vi ende med et beløb, som ligger tæt op ad Eulers tal (bare ganget med 1000, fordi det var vores beløb).

Eulers tal differentieret og integreret

Som nævnt gælder det for Eulers tal, at når man har en funktion med forskriften f(x) = e^x, er hældningskoefficienten for tangenten altid lig med y. Igen betyder det, at den afledede funktion derfor svarer til funktionen selv – altså at f(x) = f’(x).

Når man differentierer funktionen f(x) = e^x, får man dermed den afledede funktion f’(x) = e^x.

På samme måde svarer stamfunktionen til funktionen selv – så f(x) = F(x). Når man integrerer funktionen f(x) = e^x, får man dermed stamfunktionen F(x) = e^x.

(Læs mere om stamfunktioner i vores indlæg om integralregning.)

Eulers tal opløftet i 0 og Eulers tal opløftet i 1

Eulers tal opfører sig ligesom alle andre tal, når det er opløftet i 0, og når det er opløftet i 1.

Når et tal er opløftet i 0, giver det altid 1:

• e⁰ = 1

Når et tal er opløftet i 1, giver det altid tallet selv:

• e¹ = 2,71828…

Beregning af Eulers tal

Man kan beregne værdien af Eulers tal på flere forskellige måder. Man kan beregne det som en uendelig række med denne formel:

Udråbstegnet kender du måske fra kombinatorikken. Det betyder ‘fakultet’, og de beregnes ved at gange talrækken af de positive hele tal til og med tallet selv. Lad os beregne de første tal i rækken:

Bemærk, at 0! giver 1.

Hvis man fortsætter, kommer man tættere og tættere på Eulers tal, som altså fortsætter i det uendelige.

Man kan også beregne Eulers tal gennem en grænseværdi:

Det gennemgår vi mere detaljeret nedenfor.

Hvorfor er Eulers tal 2,71828…?

Nu skal vi til det lidt sværere, nemlig at finde ud af, hvorfor e har den størrelse, som den har. Derfor vil vi vise, hvordan man finder en funktion, hvortil f(x) = f’(x).

Vi forestiller os en eksponentiel funktion med forskriften f(x) = kˣ, hvor k svarer til hvilket som helst tal.

Den afledede funktion f’(x) angiver hældningen for f(x) i givent punkt. For at finde f’(x) skal man derfor finde en tangent (en tangent er en ret linje, som rammer grafen i netop ét punkt). Men for at finde hældningen af en tangent, skal man finde hældningen af en sekant (en sekant er en ret linje, som skærer grafen i to punkter).

Sekanten er vist med den grønne linje på billedet. Vi ved fra differentialregning, at man finder sekantens hældning med denne formel:

Vores forskrift for funktionen er f(x) = kˣ, så vi sætter kˣ ind på f(x)’s plads og reducerer ved at lade x’erne gå ud med hinanden:

Dernæst bruger vi den potensregneregel, der lyder, at når to potenser er lagt sammen (her x + h), er det det samme som at gange to potenser med samme grundtal (her k):

Det gør, at vi kan sætte kˣ uden for parentes og erstatte det med f(x), fordi f(x) = kˣ:

Nu har vi en værdi for sekanthældningen, og vi finder tangenthældningen ved at lade h gå mod nul, så h bliver uendeligt lille. Tangenthældningen svarer som nævnt til den afledede funktion f’(x).

For at få f’(x) til at være lig med f(x), skal det, der ganges med f(x), svare til 1:

I stedet for at lade h gå mod nul vil vi lade n gå mod ∞ (altså lade n fortsætte uendeligt). For at n → ∞ og h → 0 skal betyde det samme, skal h svare til en n’te del:

Fordi n er nævneren i en brøk med 1 i tælleren, vil værdien for h blive mindre og mindre (uendeligt lille), i takt med at n bliver større og større (uendeligt stor).

Vi har nu en anden værdi for h, som vi sætter ind på h’s plads, og derefter sætter vi k opløftet i 1 n’te del uden for parentes:

Vi isolerer k ved at opløfte i n’te potens:

Vi har stadig den betingelse, at vi vil lade n gå mod det uendelige. Se her, hvad der sker, når n-værdien bliver større og større:

Jo mere vi nærmer os uendeligt, desto tættere kommer vi på værdien af Eulers tal.

Dermed har vi fundet den værdi af k i funktionen f(x) = kˣ, der får det til at passe, at f(x) = f’(x).

Fordi k svarer til e, kan vi sætte Eulers tal ind i en eksponentiel funktion, som også kaldes den naturlige eksponentialfunktion: f(x) = eˣ.