Kombinatorik er måske overskueligt nok, når man kigger på, hvor mange kombinationer man kan lave af få ting. Men når man fx spørger, hvor mange kombinationer der er af mulige lottotal, bliver svaret pludselig et meget stort tal. I dette indlæg kan du lære, hvilke beregninger man skal lave i kombinatorik.
Vi kommer omkring følgende:
Hvad er kombinatorik?
Hvordan finder man ud af, hvor mange kombinationer der er?
Tælletræ
Kombinationer og permutationer
Kombinatorik: Eksempler
Hvis du mangler hjælp til andre emner i matematik, kan du tjekke GoTutors matematikblog. Vi sidder også klar med lektiehjælp i matematik – både til dig i folkeskolen og dig på gymnasiet.
Hvad er kombinatorik?
Kombinatorik går ud på at tælle antal mulige kombinationer af forskellige elementer. Det kan være, at vi skal sammensætte et outfit. Vi har 3 t-shirts (en rød, en grøn og en lilla), og vi har 2 par bukser (et blåt par og et sort par). På hvor mange måder kan de tre t-shirts kombineres med de to par bukser? De kan vi vise med dette billede:
Som du kan se, får vi seks outfits og dermed seks kombinationer. Det er meget simpelt, men lad os sige, at vi har 20 t-shirts og 10 par bukser – og i øvrigt skal vi også vælge mellem 5 par sko og 3 jakker. Det giver så mange kombinationer, at det er svært få plads til det på et billede. Heldigvis findes der metoder til at beregne det.
Hvordan finder man ud af, hvor mange kombinationer der er?
I stedet for at vise ovenstående eksempel med et billede, kan vi også beregne det ved hjælp af produktreglen. Produktreglen går ud på, at man ganger ens udvalg sammen, så når vi har 3 t-shirts og 2 par bukser, får vi dette regnestykke:
3 ⋅ 2 = 6
På samme måde kan vi også beregne antal kombinationer, når vi har 20 t-shirts, 10 par bukser, 5 par sko og 3 jakker:
20 ⋅ 10 ⋅ 5 ⋅ 3 = 3000
Det betyder, at der findes hele 3000 kombinationer af de stykker tøj.
Det kan også være, at man skal vælge mellem flere muligheder. Fx kan det være, at vi skal vælge, om vi skal have kjole eller buksedragt på. Hvis vi har 7 kjoler og 4 buksedragter, skal vi bruge sumreglen. Sumreglen går ud på, at man plusser ens udvalg sammen:
7 + 4 = 11
Altså har vi 11 muligheder, når vi skal vælge mellem kjole eller buksedragt.
Du skal bruge sumreglen, når du siger “enten … eller” – fx når du skal vælge enten en kjole eller en buksedragt.
Du skal bruge produktreglen, når du siger “både … og” – fx når du skal vælge både en t-shirt og et par bukser.
Tælletræ
Man kan bruge et tælletræ til at vise, hvilke kombinationer man kan lave af de forskellige elementer, som man har at gøre med.
Eksempel: Vi forestiller os, at vi skal sammensætte en tre-retters menu. Vi har to mulige forretter: Salat og suppe. Vi har fire mulige hovedretter: Pizza, pasta, lasagne og burger. Til sidst har vi tre mulige desserter: Kage, is og frugt.
Vi kan beregne antal kombinationer ved hjælp af produktreglen:
2 ⋅ 4 ⋅ 3 = 24
Men ved hjælp af et tælletræ kan vi vise, hvordan alle 24 mulige kombinationer af forret, hovedret og dessert ser ud:
Sådan har vi vist de 24 kombinationer. Som du nok kan se, giver det kun mening at lave et tælletræ, hvis man har forholdsvist få kombinationer at gøre med. Tænk, hvis man skulle lave et tælletræ med flere hundrede eller tusinde grene!
Kombinationer og permutationer
Antal forskellige kombinationer afhænger af, om de forskellige elementer skal komme i en bestemt rækkefølge, eller om de ikke skal. Hvis elementerne blot skal udvælges og ikke komme i en bestemt rækkefølge, kalder man det kombinationer. Men hvis elementer skal komme i en bestemt rækkefølge, kalder man det permutationer.
Der er fx tale om en permutation, hvis man skal beregne, hvor mange mulige pinkoder man kan have. Hvis ens mobil fx skal låses op med en 4-cifret pinkode, skal cifrene komme i den rigtige rækkefølge.
Antal forskellige kombinationer afhænger også af, om de forskellige elementer kun kan optræde én gang i en kombination, eller om de kan optræde flere gange i en kombination. Hvis det samme element kun kan optræde én gang, er det uden tilbagelægning. Hvis det samme element kan optræde flere gange, er det med tilbagelægning.
Når vi fx opretter en pinkode, kan vi godt bruge det samme ciffer mere end én gang, og så er de med tilbagelægning. Men vi kan også vælge, at vi ikke vil have det samme ciffer mere end én gang, og så er det uden tilbagelægning.
Kombinatorik: Eksempler
Kombination uden tilbagelægning
Lad os kigge på et eksempel på en kombination uden tilbagelægning. Som nævnt betyder det, at rækkefølgen er ligegyldig, og at det samme element ikke kan optræde flere gange.
Vi kan fx beregne, hvor mange kombinationer der findes af lottotal. I lotto bliver tallene trukket i tilfældig rækkefølge, og det samme tal kan ikke trækkes mere end én gang. Til denne beregning skal vi bruge denne formel:
Her gælder det, at:
n = det samlede udvalg
r = det antal man skal vælge
Udråbstegnet betyder ‘fakultet’. Fakultet til et tal betyder produktet af en talrække af de positive hele tal til og med tallet selv. Produktet er det resultat, som man får, når man ganger tal sammen. Eksempler:
4! = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1
10! = 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1
Når der trækkes lottotal, er det tallene mellem 1 og 36, og der trækkes 7 tal i tilfældig rækkefølge. Det betyder, at n = 36 og r = 7 i vores eksempel. Det sætter vi ind i formlen:
Sådan har vi beregnet, at der er hele 8.347.680 kombinationer af lottotal.
Kombination med tilbagelægning
Nu tager vi et eksempel på en kombination med tilbagelægning. Det betyder, at rækkefølgen er ligegyldig, og at det samme element godt kan optræde flere gange.
Vi forestiller os, at vi har lavet en slikskål til fredag aften, men vi vil lige smage på 3 stykker slik inden. Der er en stor slikskål med 7 forskellige slags slik, men der er mange af hver slags. Vi kan altså godt vælge 3 ens stykker af enhver slags, men vi kan også vælge 3 forskellige. For at beregne, hvor mange kombinationer der er af 3 stykker slik, skal vi bruge denne formel:
Igen er n det samlede udvalg (i dette tilfælde 7), og r er det antal man skal vælge (i dette tilfælde 3). Det sætter vi ind i formlen:
Det betyder, at der er 10.080 forskellige kombinationer, når vi skal vælge 3 stykker slik fra en slikskål med 7 forskellige slags.
Permutation uden tilbagelægning
Vi går videre til et eksempel på en permutation uden tilbagelægning. Som nævnt betyder det, at rækkefølgen er vigtig, og at det samme element ikke kan optræde flere gange.
Vi kan forestille os, at vi skal male en regnbue. Vi har 6 forskellige farver, og vores regnbue skal bestå af 4 buer. Vi vil male regnbuen i en bestemt rækkefølge fra yderste til inderste bue, og vi vælger, at vi ikke må bruge den samme farve mere end én gang. Det betyder, at vi skal bruge denne formel:
Her er n = 6 og r = 4, så det sætter vi ind i formlen:
Altså er der 360 mulige rækkefølger i vores regnbue.
Permutation med tilbagelægning
Vi slutter med et eksempel på en permutation med tilbagelægning. Det betyder, at rækkefølgen er vigtig, og at det samme element godt kan optræde flere gange.
Her kan et eksempel være, at vi skal oprette en 6-cifret talkode til vores mobil. Her har rækkefølgen af cifrene betydning, og et ciffer kan godt optræde mere end én gang i koden. Til det regnestykke skal vi bruge denne formel:
Vi har 10 cifre at vælge imellem, og vi skal vælge 6, så her gælder det, at n = 10 og r = 6. I vores regnestykke skal vi opløfte 10 i 6. potens – det betyder, at vi ganger seks 10-taller med hinanden:
Sådan har vi beregnet, at der er 1.000.000 muligheder, når man skal oprette en 6-cifret talkode.
Læs mere
Hvis du vil se endnu et eksempel på, hvordan man bruger kombinatorik, kan du læse vores indlæg om binomialfordeling. Det er en type sandsynlighedsregning, hvor man bruger kombinatorik til at beregne sandsynligheden for succes i et forsøg, som man gentager et bestemt antal gange, fx at kaste med en mønt eller en terning.