Eksponentielle funktioner er en af de vigtigste slags funktioner at kende til i matematik – så hvis du ikke kender så meget til eksponentielle funktioner, så læs med her!
Vi vil gennemgå disse punkter:
Hvad er en eksponentiel funktion?
Hvad er a og b i en eksponentiel funktion?
Isoler x i eksponentiel funktion
Vækstegenskaber for en eksponentiel funktion
Bestem forskrift for eksponentiel funktion ud fra to punkter
Her hos GoTutor er vi glade for at kunne hjælpe med det, som mange har svært ved i matematik. Hvis du mangler mere hjælp, tilbyder vi én-til-én lektiehjælp i matematik.
Hvad er en eksponentiel funktion?
En eksponentiel funktion er en funktion med forskriften:
f(x) = b ⋅ ax
Her gælder det, at a > 0, a ≠ 1 og b > 0 (at a og b skal begge være større end 0, og a må ikke være lig med 1).
Forskriften er det samme, som hvis man skrev:
y = b ⋅ ax
a og b er konstanter, mens x og y er variable. x er en uafhængig variabel, hvilket betyder, at vi selv bestemmer, hvad vi sætter ind på x’s plads. y er en afhængig variabel, fordi dens værdi afhænger af x-værdien. Man siger altså, at y er en funktion af x, og det er derfor, vi i stedet for y som regel skriver f(x) (læses “f af x”), som vi viste først.
(Bemærk, at a er ophævet i x'ende potens og ikke omvendt. Man skal derfor være opmærksom på ikke at forveksle eksponentielle funktioner med potensfunktioner.)
Man bruger eksponentielle funktioner til at vise, at når x-værdien vokser eller aftager med en fast værdi, vokser/aftager y-værdien med en fast procent.
Lad os kigge på et eksempel. Vi opretter en bankkonto, hvor vi får 5 % i rente hvert år. Vi sætter 1000 kr. ind på vores konto. Jo flere år vi lader vores beløb stå, desto mere får vi udbetalt i renter. Det kan vi skrive som en eksponentiel funktion:
f(x) = 1000 ⋅ 1,05x
Her har vi omregnet de 5 % fra procent til decimaltal. Hvor meget vi ender med at have stående på vores bankkonto (y-værdien = beløbet) afhænger af, hvor mange år der går (x-værdien = antal år). Hvis vi gerne vil vide, hvor mange penge vi har efter 2 år, sætter vi 2 ind på x’s plads i funktionen:
f(2) = 1000 ⋅ 1,052 = 1.102,5
Hvis vi gerne vil vide, hvor mange penge vi har, når der er gået 15 år, sætter vi 15 ind på x’s plads i funktionen:
f(15) = 1000 ⋅ 1,0515 = 2.078,93
Hvad er a og b i en eksponentiel funktion?
En eksponentiel funktion har som nævnt følgende forskrift:
f(x) = b ⋅ ax
a kalder man for fremskrivningsfaktoren (eller grundtallet). Her skal man kende til procentregning. Hvis a fx er 1,05, betyder det, at y vokser med 5 %, hver gang man går 1 ud ad x-aksen. Hvis a fx er 0,95, aftager y med 5 %, hver gang man går 1 ud ad x-aksen.
b viser, hvor grafen skærer y-aksen. b kaldes også begyndelsesværdien.
Hvis a er større end 1 (a > 1), er hældningen voksende, som vist her:
Hvis a er mellem 0 og 1 (0 < a < 1), er hældningen aftagende, som vist her:
Isoler x i eksponentiel funktion
Vi ved, hvordan vi får en y-værdi ud fra en x-værdi. Nu skal vi se, hvordan man omvendt finder x-værdien, når y-værdien er bestemt. Så skal man isolere x i forskriften for den eksponentielle funktion.
Vi bruger dette eksempel:
f(x) = 4 ⋅ 2x
Vi får at vide, at y = 32. y er det samme som f(x), så vi kan sætte vores y-værdi ind sådan her:
32 = 4 ⋅ 2x
Nu er det ligesom at løse en ligning, hvor man også skal isolere x. Først skal vi have 4 over på den anden side af lighedstegnet, så vi dividerer med 4:
Nu tager vi (10-tals)logaritmen på begge sider. En logaritmeregneregel lyder, at når man tager logaritmen til to tal, som man dividerer med hinanden, er det det samme som at tage logaritmen til hvert af disse to tal og trække dem fra hinanden. En anden logaritmeregneregel lyder, at når man tager logaritmen til en potens, må man rykke eksponenten ned foran og gange med logaritmen til grundtallet.
Som nævnt er det 10-talslogaritmen, som vi her har skrevet som log, men vi kunne også have skrevet log10.
Nu flytter vi log(2) over på den anden side af lighedstegnet:
Så har vi isoleret x. Nu mangler vi bare at beregne, hvad x så er. Tasten for 10-talslogaritmen hedder enten log eller log10 på din lommeregner.
Sådan har vi beregnet, at vores x-værdi er 3. Vi kunne også have beregnet den uden lommeregner. I stedet for at lave vores divisionsstykke om til et minusstykke, kunne vi dividere de to tal og tage logaritmen til dette tal:
Igen isolerer vi x:
Nu kan vi lave 8 og 2 om til potenser med samme grundtal. Grundtallet kan være 2. Dermed er eksponenten øverst 3, da 23 giver 8 (altså 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8). Nederst er eksponenten 1, da 21 giver 2, men man behøver ikke at skrive en eksponent på 1.
Vi har set, at en logaritmeregneregel lyder, at når man tager logaritmen til en potens, må man rykke eksponenten ned foran og gange med logaritmen til grundtallet.
log(2) og log(2) går ud med hinanden i brøken. Sådan har vi igen beregnet (uden lommeregner denne gang), at x = 3. Hvis vi vil tjekke, at vi har regnet rigtigt, kan vi sætte 3 ind på x’s plads i forskriften og se, om vi ender med en y-værdi på 32, som vi gerne skulle:
f(3) = 4 ⋅ 23 = 4 ⋅ 8 = 32
Det var rigtigt! I stedet for at følge hvert trin, som vi har gennemgået, kan man følge denne formel, hvor x allerede er isoleret:
Lad os også beregne et eksempel, hvor vi finder x med denne formel. Vi har denne forskrift:
f(x) = 3 ⋅ 0,5x
Vi får at vide, at y = 12, så det sætter vi ind i vores formel sammen med værdierne for a og b:
Altså er vores x-værdi -2. Igen kan vi tjekke efter, om vi har regnet rigtigt. Vi sætter -2 ind på x's plads i funktionen og skal gerne ende med en y-værdi på 12. Husk, at når man har en potens med en negativ eksponent (-2) om til en brøk, hvor man sætter 1 i tælleren og potensen i nævneren, men hvor eksponenten har omvendt fortegn.
f(-2) = 3 ⋅ 0,5-2 = 3 ⋅ 1/0,52 = 3 ⋅ 1/0,25 = 3 ⋅ 4 = 12
Vækstegenskaber for en eksponentiel funktion
Når x-værdien vokser med en fast værdi, vokser y-værdien med en fast procent. For en eksponentiel funktion gælder det altså, at en absolut x-tilvækst giver en relativ y-tilvækst.
Den absolutte tilvækst er slutværdien (x₂) minus begyndelsesværdien (x₁). Den kaldes ∆x (“delta x”). Formlen for absolut tilvækst er altså:
∆x = x₂ - x₁
Formlen for tilvæksten for en eksponentiel funktion er:
ry = a∆x - 1
(ry betyder "den relative tilvækst af y".)
Altså betyder det, at den relative tilvækst af y er lig med fremskrivningsfaktoren opløftet i den absolutte tilvækst af x, minus 1.
Vi kigger på et eksempel. Vi har funktionen y = 5 ⋅ 1,09x og vil gerne finde ud af, hvor mange procent y stiger, hvis x vokser med 3. Vi sætter vores tal ind i formlen:
ry = 1,093 - 1 = 0,295
Vi omregner vores facit fra decimaltal til procent. Det betyder, at når x vokser med 3, vokser y med 29,5 %.
Bestem forskrift for eksponentiel funktion ud fra to punkter
Hvis vi i en eksponentiel funktion har to punkter (x₁, x₂) og (y₁, y₂), kan vi bestemme forskriften for funktionen – altså skal vi finde a og b. Først kan vi finde a med denne formel:
Lad os tage et eksempel. Vi har to punkter med koordinaterne (1, 8) og (4, 64). Vi sætter dem ind i formlen:
Det betyder, at a er 2. Nu skal vi finde b. Vi tager udgangspunkt i ét af punkterne (1, 8) og sætter tallene ind i formlen for den eksponentielle funktion:
y = b ⋅ ax
8 = b ⋅ 21
Vi isolerer b i ligningen:
8/21 = b
b = 4
Nu har vi a og b, og dermed har vi regneforskriften:
f(x) = 4 ⋅ 2x
Mere generelt kan man skrive, at formlen for b, når man har fundet a, er:
Eller
Det giver det samme resultat. Altså kunne vi også have sat punktet (4, 64) ind og fået samme resultat for b:
b = 64/24 = 64/16 = 4
Nu har vi gennemgået alt, hvad der er værd at vide om eksponentielle funktioner. Hvis du vil vide mere om funktioner, kan du læse vores indlæg om lineære funktioner, potensfunktioner eller funktioner generelt.