Integralregning er det modsatte af differentialregning, så vi anbefaler, at du har godt styr på differentialregning, inden du læser videre, så du kan forstå, hvad vi gennemgår i dette indlæg.
Her kommer vi nemlig ind på følgende:
Hvad er integralregning?
Det ubestemte integral
Det bestemte integral og areal
Oversigt over stamfunktioner
Integralregning: regneregler
Hvis du søger hjælp til andre emner i matematik, kan du tjekke GoTutors matematikblog, og du kan læse om, hvordan vi tilbyder lektiehjælp i matematik, så det passer lige til den enkelte elevs ønsker og behov.
Hvad er integralregning?
Integralregning går ud på at finde stamfunktionen til en funktion. Som nævnt er integralregning det modsatte af differentialregning, så det modsatte af at differentiere en funktion er at integrere en funktion.
Differentialregning går ud på at finde en afledet funktion ud fra en given funktion. Det vil sige, at vi har funktionen f, og vi ønsker at finde den afledede funktion f’.
Integralregning går omvendt ud på, at vi ud fra en given funktion kan finde ud af, hvad den er afledt til. Det vil sige, vi har funktionen f, men vi ønsker at finde den funktion, hvis afledede funktion er f. Denne funktion kaldes stamfunktionen og betegnes F (altså “store F”).
Hvis man differentierer stamfunktionen, får man den oprindelige funktion.
Definition: Funktionen F er en stamfunktion til funktionen f, hvis F'(x) = f(x).
Hvis man fx har denne funktion:
F(x) = x³ + 2x² - 8
… og ønsker at finde den afledte funktion, differentierer man:
f(x) = 3x² + 4x
Hvis man omvendt har denne funktion:
f(x) = 3x² + 4x
… og ønsker at finde dens stamfunktion, integrerer man:
F(x) = x³ + 2x²
Men så mangler man konstanten -8. Det skyldes, at hvis man differentierer en funktion, bliver konstanten 0. Hvis man fx differentierer følgende funktioner:
F(x) = x³ + 17
F(x) = x³ - 17
F(x) = x³ + 1000
… giver de alle samme afledede funktion:
f(x) = 3x²
… fordi konstanterne giver nul. Funktionen f(x) = 3x² har uendeligt mange stamfunktioner. Derfor kan alle stamfunktioner til funktionen f(x) = 3x² skrives som:
F(x) = x³ + k
k er en konstant.
Det ubestemte integral
Når man finder stamfunktionen, er det det samme som at finde det ubestemte integral. Integralet er ubestemt, fordi den stamfunktion, som man finder frem til, jo dækker over uendeligt mange stamfunktioner med uendeligt mulige konstanter. Vi betegner alle de mulige konstanter med k, fordi værdien af k er ubestemt.
Rent matematisk skriver man det ubestemte integral sådan her:
”Det lange s” til venstre er blot et symbol. Det samme er d’et til højre. f(x) (med lille f) er den funktion, som man ønsker at integrere, og den kaldes integranden.
Man læser sætningen som "det ubestemte integral af f er lig med en stamfunktion til f." Man skal huske at tilføje en konstant til den stamfunktion, man finder. På den måde har man nemlig skrevet alle stamfunktionerne op på én gang.
Vi kan fx ønske at integrere denne funktion:
f(x) = 9x² + 8x
Vi integrerer sådan her:
Hvis man er i tvivl, om man er kommet frem til den rigtige stamfunktion, kan man prøve at differentiere sit resultat og se, om det giver den oprindelige funktion. En sådan test kalder man integrationsprøven.
F(x) = 3x³ + 4x² + k
f(x) = 3 ⋅ 3x3-1 + 2 ⋅ 4x2-1 = 9x² + 8x = F’(x)
Den afledede funktion er altså f(x) = 9x² + 8x, og det var også det, vi skulle finde frem til.
Det bestemte integral og areal
Når man skal finde et bestemt integral, finder man et tal mellem to punkter a og b. a og b kaldes integrationsgrænser eller grænseværdier. Man skriver dem på “det lange s”-symbol således:
Når man finder det ubestemte integral (det vil sige finder stamfunktionen), bliver resultatet en funktion. Når man derimod finder det bestemte integral, bliver resultatet et tal. Man udregner et bestemt integral på følgende måde:
Først finder man stamfunktionen til f og skriver den i klammerne (de firkantede parenteser). Dernæst bestemmer man b, som er den øvre integrationsgrænse, og sætter den ind på x’s plads i F. Ligeledes bestemmer man a, som er den nedre integrationsgrænse, og sætter den ind på x’s plads i F. Til sidst trækker man F(a) fra F(b).
Lad os beregne et eksempel, hvor a er 2 og b er 4, og hvor vores funktion f er 3x². Vi beregner stamfunktionen til f at være x³ (så F(x) = x³). Her skal vi ikke tilføje en konstant, når vi skriver stamfunktionen i klammer – man tilføjer kun en konstant ved ubestemte integraler.
Hvad betyder dette tal så? Hvis funktionen f er positiv i hele intervallet mellem a og b, svarer tallet til arealet mellem f og x-aksen i dette interval. Det er illustreret på dette billede:
Den grønne graf er grafen for vores funktion f, og det røde område danner et areal mellem funktionen og x-aksen i intervallet [2;4]. Som vores resultat viser, har dette areal en størrelse på 56.
Man kan også bruge det bestemte integral til at finde arealet mellem to grafer. For at der kan være et areal mellem to grafer, kræver det, at den ene graf ligger over den anden – altså at alle værdier af intervallet [a;b] er større ved den ene funktion end ved den anden funktion. Når funktionen f således har større funktionsværdier end funktionen g i intervallet [a;b], finder man arealet mellem graferne sådan her:
Vi kigger på et eksempel, hvor vi ønsker at finde arealet mellem disse to funktioner:
f(x) = 6x² + 3
g(x) = 12x + 3
Vi starter med at finde integrationsgrænserne a og b. Det svarer til de to punkter, hvor de to grafer skærer hinanden. Det gør vi ved at sætte de to funktioner lig hinanden:
f(x) = g(x)
6x² + 3 = 12x + 3
Vi flytter 3 fra venstre side af lighedstegnet over på højre side og ændrer fortegnet, og vi flytter 12x over på venstre side af lighedstegnet og ændrer fortegnet:
6x² - 12x = 3 - 3 = 0
Vi har nu en andengradsligning, som vi løser ved hjælp af nulreglen. Nulreglen går ud på at omskrive ligningen, så vi får to faktorer, der skal ganges sammen.
Vi sætter 6x uden for parentesen:
6x(x - 2) = 0
Vi skal have et facit på 0, så vi skal gange med noget, der ligeledes giver 0. For at 6x skal give 0, skal x være 0. For at x - 2 skal give 0, skal x være 2. De to løsninger for x-værdien skriver vi sådan her:
x = 0 V x = 2
Nu kender vi integrationsgrænserne, så nu kan vi beregne arealet mellem de to grafer. Det er vigtigt, at vi trækker den nederste graf fra den øverste. Når vi ikke har tegnet graferne, kan vi beregne, hvilken graf der ligger øverst. Det gør vi ved at vælge et vilkårligt tal i vores interval [0;2] og sætte ind på x’s plads i vores funktioner. Vi vælger at sætte 1 ind:
f(1) = 6 ⋅ 1² + 3 = 9
g(1) = 12 ⋅ 1 + 3 = 15
15 er større end 9, og det betyder, at funktionen g ligger over funktionen f i intervallet [0;2]. Derfor skal vi trække f fra g og dermed også F fra G. Vi beregner stamfunktionerne:
F(x) = 2x³
G(x) = 6x²
Nu ved vi alt, hvad vi skal vide, for at beregne arealet mellem graferne:
Arealet mellem de to grafer er 8.
Vi kan også tegne det:
Den blå graf er grafen for f, den grønne graf er grafen for g, og det røde område er arealet mellem de to grafer.
Oversigt over stamfunktioner
Vi har set, at integration er den modsatte regneart af differentiation, og hvis man vil integrere en funktion, kan man “tænke omvendt” i forhold til, hvad man gør, når man differentierer. Nogen synes sikkert, at det er en svær fremgangsmåde, så herunder har vi samlet en oversigt over, hvordan man skal regne, når man går fra en funktion til dens stamfunktion.
Oversigten indeholder også de mere komplicerede funktioner, der fx indeholder en brøk, en rod eller en logaritme.
Husk! Alle ubestemte integraler skal slutte med + k.
Integralregning: regneregler
Inden for integralregning findes der en række regneregler:
Sumreglen
Differensreglen
Produkt af konstant og funktion
De gælder, hvis man har to funktioner, man vil lægge sammen eller trække fra hinanden, eller hvis man vil gange en funktion med en konstant. Vi gennemgår reglerne enkeltvis herunder.
Sumreglen
Man kan integrere summen af to funktioner ved at integrere hver funktion for sig og lægge sammen bagefter. Sætningen lyder:
Man læser sætningen som ”integralet af f plus g er lig med integral af f plus integralet af g.”
Vi kan bevise sætningen med brug af integrationsprøven. Hvis vi differentierer højre side af lighedstegnet, skal vi gerne ende med at få integranden på venstre side:
Vi har fået resultatet, som matcher med integranden på venstre side, og dermed er reglen bevist.
Differensreglen
Man kan integrere differensen af to funktioner ved at integrere hver funktion for sig og trække dem fra hinanden bagefter. Sætningen lyder:
Reglen bevises på samme måde som sumreglen, bare med minus i stedet for plus.
Produkt af konstant og funktion
Man kan integrere produktet af en konstant og en funktion (produktet er resultatet af gange, i dette tilfælde er det konstanten og funktionen ganget sammen) ved at lade konstanten stå og gange den med integralet af funktionen. Sætningen lyder:
Vi kan bevise sætningen med brug af integrationsprøven. Hvis differentierer højre side af lighedstegnet, skal vi gerne ende med at få integranden på venstre side:
Vi har fået resultatet, som matcher med integranden på venstre side, og dermed er reglen bevist.