Rentesregning går – som navnet antyder – ud på at regne med renter. I dette indlæg lærer vi dig, hvordan man gør.
Helt præcist kommer vi ind på:
Hvordan regner man rentesregning?
Hvilken formel er renteformlen?
Hvordan beregner jeg renters rente?
Bestem startkapitalen i rentesregning
Bestem rentefoden i rentesregning
Bestem antal terminer i rentesregning
Hvad er annuitetsregning?
Annuitetsopsparing: Formel
Annuitetslån: Formel
Mangler du hjælp til flere emner inden for matematik, kan du læse mere på GoTutors blog i matematik. Vi har mange års erfaring med lektiehjælp i matematik.
Hvordan regner man rentesregning?
En rente er en pengeydelse, som man kan modtage for at have penge stående på sin bankkonto, eller som man betaler for at have taget et lån. Renten udgør en fast procentdel af beløbet, som man har på sin konto, eller som man har lånt. Denne procentdel kaldes også en rentefod.
Når man skal beregne renter, skal man bruge renteformlen.
Hvilken formel er renteformlen?
Renteformlen lyder:
Kn = K0 × (1 + r)n
Forklaringer:
r er rentefoden (renten i procent)
n er antal terminer. En termin er et bestemt tidspunkt for, hvornår betalingen eller udbetalingen skal foregå. Det kan fx være en gang om året eller en gang i kvartalet (et kvartal er tre måneder)
K0 er startkapitalen (det vil sige det beløb, som vi starter med)
Kn er slutkapitalen (det vil sige det beløb, som vi ender med efter n antal terminer)
Lad os beregne et eksempel. Vi har 10.000 kroner stående på vores bankkonto, og vi får udbetalt 2 % i rente efter et år. Vi omskriver renten fra procent til decimaltal, så det bliver 0,02.
10.000 × (1 + 0,02)1 = 10.200
Det betyder, at vi efter et år har 10.200 kroner stående på vores konto. Når man beregner renten efter en enkelt termin (altså kun ud fra sit oprindelige beløb), kaldes det en simpel rente. Hvis man fortsætter, vil man ikke kun få renter af sit oprindelige beløb, men også af sine renter – det kalder vi for renters rente.
Hvordan beregner jeg renters rente?
Når man skal beregne renters rente, ser man på, hvor stort ens beløb vil være efter flere terminer. Lad os tage eksemplet fra før, hvor vi beregner, hvor mange penge vi ville have på vores konto efter to år.
10.000 × (1 + 0,02)2 = 10.404
Efter et år havde vi fået 200 kroner ekstra. Nu har vi fået 204 kroner oveni efter to år. Hvordan kan det være?
Begge år har vi fået 2 % udbetalt i rente. Det første år fik vi 2 % af de 10.000 kroner, og det gav os 200 kroner ekstra. Det andet år har vi fået 2 % af de 10.000 kroner og 2 % af de 200 kroner. Vi har dermed fået renter af vores renter.
Rentefoden er fast, men det udbetalte beløb ændrer sig. Se her, hvor meget vi ville have stående på vores konto efter tre, fire og fem år:
10.000 × (1 + 0,02)3 = 10.612,08
10.000 × (1 + 0,02)4 = 10.824,32
10.000 × (1 + 0,02)5 = 11.040,81
I disse eksempler skal vi selvfølgelig forestille os, at vi hverken indsætter eller hæver penge på vores konto undervejs, og at banken hverken hæver eller sænker renten.
Lad os kigge på et andet eksempel. Vi har taget et lån på 5.000 kroner, og vi skal betale 7 % i rente i kvartalet. Hvor stor er vores gæld blevet efter otte år, hvis vi ikke har betalt af på lånet og bare har ladet det vokse?
5.000 × (1 + 0,07)8 = 8.590,93
Sådan har vi beregnet, at vi skylder 8.590,93 kroner efter otte terminer.
Indtil videre har vi lavet beregninger, hvor vi ønsker at finde slutkapitalen (Kn). Man kan også beregne startkapitalen (K0), rentefoden (r) eller antal terminer (n).
Bestem startkapitalen i rentesregning
Vi forestiller os, at vi har en opsparingskonto med 40.000 kroner stående. Vi oprettede den for 10 år siden, og vi har fået udbetalt 5 % i årlig rente. Nu vil vi gerne beregne, hvor mange penge vi havde til at starte med.
Her skal vi bruge renteformlen, men hvor den er skrevet om, således at K0 er isoleret:
Vi sætter vores tal ind i denne formel:
Sådan har vi beregnet, at vi havde 24.556,53 kroner stående på vores opsparing for 10 terminer siden.
Vi kigger på endnu et eksempel. For tre år siden tog vi et lån, hvor vi har betalt 2,5 % i årlig rente. Nu skylder vi 16.153,36 kroner. Hvor stort var vores oprindelige lån?
Vi sætter tallene ind i formlen:
Altså har vi beregnet, at vores lån startede på 15.000 kroner.
Bestem rentefoden i rentesregning
Vi forestiller os, at vi havde 20.000 kroner på vores konto, og efter tre terminer har vi 22.497,28 kroner stående. Vi vil gerne finde ud af, hvor mange procent vi har fået i rente.
Vi bruger renteformlen, hvor r er isoleret:
Vi sætter vores tal ind:
Husk, at tallet er angivet i decimaltal. Vi omskriver til procent, hvilket betyder, at vi har fået 4 % i rente.
Vi tager endnu et eksempel. Vi har taget et lån på 1.000 kroner, og efter 15 terminer er beløbet steget til 4.177,25 kroner. Hvor meget har vi betalt i rente?
Vores regnestykke lyder således:
Igen omskriver vi fra decimaltal til procent, og vi har dermed beregnet, at vi har betalt 10 % i rente.
Bestem antal terminer i rentesregning
Nu forestiller vi os, at vi lavede en opsparing, hvor vi satte 50.000 kroner ind, og hvor vi har fået 4 % i rente. Vi har nu 63.265,95 kroner stående, men vi har glemt, hvor mange terminer vi har fået udbetalt renter, så det vil vi beregne.
Vi bruger renteformlen, hvor n er isoleret:
Forkortelsen log står for ‘logaritme’ og hedder log eller log10 på din lommeregner. Vi sætter vores tal ind i formlen:
Sådan har vi beregnet, at vi satte de 50.000 kroner ind på vores opsparing for 6 terminer siden.
Lad os tage endnu et eksempel. Engang tog vi et lån på 7.500 kroner, som nu er vokset til 10.045,33 kroner. Vi har betalt 3,3 % i rente og vil beregne, hvor mange terminer vi har haft vores lån.
Altså er vores gæld vokset gennem 9 terminer.
Hvad er annuitetsregning?
I alle vores eksempler indtil nu har vi set, hvordan en opsparing indtjener renter, hvis ikke man rører sin opsparing undervejs, og hvordan et lån vokser pga. renterne, hvis ikke man betaler af på sit lån undervejs. Altså har vi blot indbetalt et beløb en enkelt gang. Det er dog almindeligt at sætte penge ind på sin opsparing løbende, og man skal naturligvis betale af på sit lån.
Derfor vil vi nu introducere begrebet annuitet, som er et fastsat beløb, som man betaler med lige store mellemrum.
Annuitetsopsparing: Formel
Når man har en annuitetsopsparing, betyder det, at man sætter det samme beløb ind efter perioder af samme længde, fx hvert år.
Formlen for beregning af annuitetsopsparing lyder:
Forklaringer:
r er rentefoden (renten i procent)
n er antal indbetalinger
b er ydelsen (det vil sige det beløb, som vi indbetaler hver termin)
An er saldoen (det vil sige det beløb, som vi ender med efter n antal indbetalinger)
Lad os beregne et eksempel. Vi opretter en opsparingskonto, hvor vi sætter 5.000 kroner ind, og hvor vi får 1,9 % i rente. Vi fortsætter med at sætte 5.000 ind en gang om året. Nu vil vi gerne vide, hvor mange penge vi har på opsparingen efter præcis 10 år.
Læg først mærke til, at n nu betyder antal indbetalinger! Vi starter med at indbetale 5.000 kroner. Efter et år indbetaler vi 5.000 kroner mere – det vil sige, at vi har lavet to indbetalinger i alt. Efter to år indbetaler vi 5.000 kroner mere – det vil sige, at vi har lavet tre indbetalinger i alt. Efter tre år har vi i alt lavet fire indbetalinger og så videre.
I vores eksempel ovenfor vil vi beregne, hvad vores saldo er efter 10 år – det betyder, at vi har lavet 11 indbetalinger (den første, da vi oprettede opsparingen, plus 10 efterfølgende hvert år). Vi sætter dermed 11 ind på n’s plads i formlen:
Vi har beregnet, at vores saldo er på 60.534,45 kroner efter 11 indbetalinger. Heraf har vi selv indbetalt de 55.000 kroner (11 × 5.000), og de resterende 5.534,45 kroner har vi fået i rente.
Vi tager også et eksempel, hvor vi gerne vil finde b. Altså kan vi forestille os, at vi gerne vil spare 20.000 kroner op med 12 indbetalinger, og renten er 2,5 %. Hvor stort et beløb skal vi så indbetale hver gang?
Her skal vi bruge formlen for beregning af annuitetsopsparing, hvor b er isoleret:
Vi sætter vores tal ind:
Sådan har vi beregnet, at vi skal lave 12 indbetalinger à 1.449,74 kroner, hvis vi vil spare 20.000 kroner op med 2,5 % i rente.
Annuitetslån: Formel
Når man tager et lån, vil man typisk betale af på den måde, at man betaler et fast beløb hver termin. Lån har også renter, så långiveren (fx banken) i sidste ende har tjent penge på at udlåne penge. Det faste beløb (ydelsen) skal dermed både dække de penge, som man oprindeligt har lånt (kaldes hovedstolen), og de renter, som der er kommet undervejs.
Formlen for beregning af annuitetslån lyder:
Forklaringer:
r er rentefoden (renten i procent)
n er antal indbetalinger
y er ydelsen (det vil sige det beløb, som vi indbetaler hver termin)
G er hovedstolen (det vil sige det beløb, som vi oprindeligt har lånt)
Lad os beregne et eksempel. Vi vil gerne vide, hvor stort et lån vi kan tage, hvis vi laver fire indbetalinger à 12.000 kroner med en rente på 7 %.
Vi sætter vores tal ind i formlen:
Dermed har vi beregnet, at vi kan låne 40.646,54 kroner. Læg mærke til, at vi fire gange betaler 12.000 kroner, hvilket giver 48.000 kroner. Altså ender vi med at betale 48.000 kroner for at have lånt 40.646,54 kroner, fordi vi har betalt resten af beløbet i renter!
Lad os se på et andet eksempel, hvor vi nu ønsker at finde y. Vi forestiller os, at vi tager et lån på 30.000 kroner med en rente på 10 %. Vi ønsker at betale pengene tilbage på tre år. Hvor meget skal vi så betale i årlig ydelse?
Vi bruger formlen, hvor y er isoleret:
Vi sætter vores tal ind således:
Sådan har vi beregnet, at vi skal betale 12.063,44 kroner i ydelse om året.
Læg igen mærke til, at det ikke er nok at betale 10.000 kroner tre gange for at tilbagebetale en gæld på 30.000 kroner, for vi skal også betale renter.
For kort at opsummere: Hvis du betaler et beløb en enkelt gang, kan du beregne renterne ved hjælp af rentesregning. Hvis du i stedet betaler et beløb med faste mellemrum, kan du beregne renterne ved hjælp af annuitetsregning.