Før vi havde lommeregnere og computere, blev logaritmer brugt til at beregne svære gange- og divisionsstykker ved at lave dem om til plus- og minusstykker. I dag har vi både lommeregnere og computere, men vi bruger stadig logaritmer, og i dette indlæg vil vi gennemgå eksempler på brug af logaritmer, og vi vil selvfølgelig forklare, hvad en logaritme overhovedet er.

Vi kommer ind på:

Hvad er logaritme?
10-talslogaritme
2-talslogaritme
Den naturlige logaritme
Logaritmeregneregler

Du kan også tjekke GoTutors matematikblog, hvis du mangler hjælp til andre emner inden for matematik.

Hvad er logaritme?

En logaritme er en funktion, der viser, hvor mange gange et tal er ganget med sig selv for at få et bestemt tal. Logaritmer er den modsatte funktion af tal med en eksponent (a^x). Derfor gælder det, at:

log_a(a^x) = x

Man kalder a for logaritmens grundtal. Når man tager log_a til tallet y, finder man det tal, som man skal opløfte a i for at få y.

log_a(y) = x

Grundtallet kan fx være 10, og så kan man tage log₁₀ til 100:

log₁₀(100) = 2

Det giver 2, fordi 10² giver 100 (10 ⋅ 10 = 100). Altså skal vi opløfte 10 (vores grundtal) i 2 (vores x-værdi) for at få 100 (vores y-værdi).

Man kan også tage log₁₀ til 1000:

log₁₀(100) = 3

Fordi 10³ er lig med 1000. Altså 10 ⋅ 10 ⋅ 10 = 1000.

Grundtallet behøver ikke være 10 – det kan være alt muligt. Man kan fx tage logaritmen med grundtallet 2 til 16:

log₂(16) = 4

Fordi 2⁴ giver 16 (så 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 16).

Logaritmer er som nævnt den modsatte funktion af tal med en eksponent, som a^x. Man skal ikke forveksle det med potenser af typen x^a. Hvis man fx har en ligning med et tal som x² (x opløftet i anden potens, hvor x er grundtallet, og 2 er eksponenten), kan man isolere x ved hjælp af den modsatte funktion: rødder.

Hvis man omvendt har en ligning med et tal som 2^x (2 opløftet i x’ende potens, hvor 2 er grundtallet, og x er eksponenten), kan man isolere x ved hjælp af dennes modsatte funktion: logaritmer.

De forskellige logaritmer får som regel navn ud fra deres grundtal. Vi vil nu gennemgå de tre mest almindelige logaritmer:

10-talslogaritme
2-talslogaritme
Den naturlige logaritme

10-talslogaritme

En 10-talslogaritme har grundtallet 10. Vi har allerede set et par eksempler, men her kan vi vise lidt flere:

log₁₀(10.000) = 4 (fordi 10⁴ giver 10.000)
log₁₀(1000) = 3 (fordi 10³ giver 1000)
log₁₀(100) = 2 (fordi 10² giver 100)
log₁₀(10) = 1 (fordi 10¹ giver 10)
log₁₀(1) = 0 (fordi 10⁰ giver 1)
log₁₀(0,1) = -1 (fordi 10^-1 giver 0,1)
log₁₀(0,01) = -2 (fordi 10^-2 giver 0,01)
log₁₀(0,001) = -3 (fordi 10^-3 giver 0,001)
log₁₀(0,0001) = -4 (fordi 10^-4 giver 0,0001)

Altså gælder det, at hver gang x-værdien vokser med 1, bliver y-værdien 10 gange større, og hver gang x-værdien aftager med 1, bliver y-værdien 10 gange mindre.

I alle disse eksempler er vores resultat et helt tal – men det kan også sagtens være et decimaltal. Man kan nemlig tage 10-talslogaritmen til alle positive tal. Vi kan fx tage 10-talslogaritmen til 20:

log₁₀(20) = 1,301 (fordi 10^1,301 giver 20)

Som vi har vist, kan man skrive en 10-talslogaritme som log₁₀, men det er også almindeligt bare at skrive log, hvis man ikke har med andre slags logaritmer at gøre. Altså er det underforstået, at log er det samme som log₁₀.

Decibelskalaen (som måler lydniveauer) er baseret på 10-talslogaritmen. Det betyder, at når et lydniveau stiger med 10 decibel, bliver lydstyrken 10 gange større – så fx er et lydniveau på 60 decibel 10 gange større end et lydniveau på 50 decibel.

I nogle af vores andre indlæg kan du også se, hvordan vi bruger 10-talslogaritmer til at isolere x i eksponentielle funktioner og til at bestemme forskriften for en potensfunktion ud fra to punkter.

2-talslogaritme

En 2-talslogaritme har – som navnet antyder – 2 som grundtal, og man skriver den som log₂. Når x-værdien vokser med 1, bliver y-værdien dobbelt så stor. Når x-værdien aftager med 1, bliver y-værdien halvt så lille.

log₂(64) = 6 (fordi 2⁶ giver 64)
log₂(32) = 5 (fordi 2⁵ giver 32)
log₂(16) = 4 (fordi 2⁴ giver 16)
log₂(8) = 3 (fordi 2³ giver 8)
log₂(4) = 2 (fordi 2² giver 4)
log₂(2) = 1 (fordi 2¹ giver 2)
log₂(1) = 0 (fordi 2⁰ giver 1)
log₂(0,5) = -1 (fordi 2^-1 giver 0,5)
log₂(0,25) = -2 (fordi 2^-2 giver 0,25)
log₂(0,125) = -3 (fordi 2^-3 giver 0,125)

Men igen kan man tage 2-talslogaritmen til ethvert positivt tal, fx:

log₂(13) = 3,7 (fordi 2^3,7 giver 13)

2-talslogaritmen kaldes også den binære logaritme og bruges tit inden for datalogi, fordi computere bygger på det binære talsystem.

Den naturlige logaritme

Den naturlige logaritme har tallet e som grundtal. Tallet e er en matematisk konstant (på samme måde som pi), som man også kalder Eulers tal, og som svarer til cirka 2.71828…, hvor decimalerne fortsætter i det uendelige. I stedet for log_e skriver man typisk ln.

Vær dog opmærksom på, at der også er nogen, der blot bruger log om den naturlige logaritme, men som vi beskrev før, at det mest almindeligt at bruge log om 10-talslogaritmen – og ln om den naturlige logaritme.

Eksempler på udregninger:

ln(4) = 1,386 (fordi e^1,386 giver 4)
ln(3) = 1,1 (fordi e^1,1 giver 3)
ln(2) = 0,693 (fordi e^0,693 giver 2)
ln(1) = 0 (fordi e⁰ giver 1)

Som du kan se, foregår det på samme måde som ved de andre logaritmer.

Logaritmeregneregler

Som nævnt kan man bruge logaritmer til at beregne svære gange- og divisionsstykker ved at lave gange om til plus og lave division om til minus. Man kan også tage logaritmen til en potens, uden at man behøver at kende resultatet af potensen. Der gælder nemlig disse regneregler for logaritmer:

c angiver grundtallet og viser, at disse regneregler altså gælder for alle logaritmer, uanset hvad grundtallet er. Hvis man skal formulere logaritmeregnereglerne med tekst, lyder de således:

Når man tager logaritmen til to tal, som man ganger med hinanden, er det det samme som at tage logaritmen til hvert af disse to tal og lægge dem sammen.
Når man tager logaritmen til to tal, som man dividerer med hinanden, er det det samme som at tage logaritmen til hvert af disse to tal og trække dem fra hinanden.
Når man tager logaritmen til en potens, må man rykke eksponenten ned foran og gange med logaritmen til grundtallet.