Værd at vide om andengradsligninger og andengradspolynomier

Hvis du skal beregne andengradsligninger i dine matematikopgaver, men ikke har styr på, hvordan man gør, er du kommet til det rette sted. Vi gennemgår eksempler, hvor vi trin for trin viser, hvordan man løser en andengradsligning. Derefter gennemgår vi, hvad et andengradspolynomium er, fordi det minder om andengradsligninger – men de to ting er ikke det samme. Altså gennemgår vi følgende i dette indlæg:

• Hvad er en andengradsligning?

• Diskriminanten i en andengradsligning

• Hvordan løser man en andengradsligning?

• Bevis for løsningen af andengradsligningen

• Løsning af andengradsligninger med kvadratkomplettering

• Forskel på andengradsligning og andengradspolynomium

• Hvad er formlen for toppunktet af et andengradspolynomium?

• Bevis for toppunktsformlen

• Faktorisering af andengradspolynomier

Du kan desuden tjekke GoTutors blog, hvis du mangler hjælp til andre emner inden for matematikfaget, og du kan også læse mere om vores tilbud om lektiehjælp i matematik.

Hvad er en andengradsligning?

En andengradsligning er en ligning, som har et led, hvor den ubekendte er opløftet i anden potens. En andengradsligning har denne form:

• ax² + bx + c = 0

Det kaldes også 'den generelle andengradsligning'.

Det gælder, at a ≠ 0 (a må ikke være 0), for hvis man sætter 0 ind på a’s plads, skal 0 ganges med x², hvilket giver 0, og det ville ikke længere være en andengradsligning, hvis et led ikke var opløftet i anden potens.

Altså kalder man det en andengradsligning, fordi den indeholder et led som x². Ligninger med led som x³ kalder man en tredjegradsligning. Ligninger med led som x⁴ kalder man en fjerdegradsligning og så videre. Ligningen tager sit navn efter den højeste potens.

I andengradsligningen kalder man leddet ax² for andengradsleddet, man kalder leddet bx for førstegradsleddet, og man kalder leddet c for konstantleddet.

Desuden kalder man størrelserne a, b og c for koefficienter, og x er den ubekendte. For at løse en andengradsligning skal man finde ud af, hvad x er. Første skridt er at finde diskriminanten.

Diskriminanten i en andengradsligning

Diskriminanten viser, om andengradsligningen har nul, én eller to løsninger – altså den diskriminerer. Man kalder diskriminanten d.

• Hvis d er negativ, har andengradsligningen nul løsninger

• Hvis d er lig med 0, har andengradsligningen én løsning

• Hvis d er positiv, har andengradsligningen to løsninger

Formlen for diskriminanten er:

• d = b² - 4ac

Alt efter om diskriminanten er lig med 0 eller større end 0, er der forskellige formler til at finde løsningerne af andengradsligninger:

Nedenunder viser vi med eksempler, hvordan man bruger disse formler til at løse andengradsligninger.

Hvordan løser man en andengradsligning?

Man løser en andengradsligning ved at finde den ubekendte, som normalt er kaldt x. Vi gennemgår et eksempel, hvor vi vil løse denne andengradsligning:

• 2x² + 4x + 2 = 0

Andengradsligningen har altså følgende koefficienter:

• a = 2

• b = 4

• c = 2

Som nævnt skal vi først finde diskriminanten for at se, hvor mange løsninger ligningen har – og hvorvidt ligningen har en løsning. Vi sætter koefficienterne ind i formlen for diskriminanten:

• d = b² - 4ac

• d = 4² - 4*2*2

• d = 16 - 16

• d = 0

Diskriminanten er lig med 0. Det betyder, at andengradsligningen har netop én løsning, og derfor skal vi bruge denne formel for at finde x:

Vi sætter størrelserne for a og b ind i ligningen:

Løsningen er, at x er lig med -1.

Vi beregner endnu et eksempel:

• 4x² + 10x + 4 = 0

Vi har dermed følgende koefficienter:

• a = 4

• b = 10

• c = 4

Vi starter med at finde diskriminanten:

• d = 10² - 4*4*4

• d = 100 - 64

• d = 36

Diskriminanten er 36 og er dermed positiv/større end 0. Det betyder, at andengradsligningen har to løsninger, og derfor skal vi bruge denne formel for at finde x:

Tegnet ± (plus minus) viser, at vi i den ene beregning skal indsætte et plustegn og i den anden et minustegn for at finde de to løsninger.

Vi starter med at indsætte et plustegn og størrelserne for a, b og d i ligningen:

Den ene løsning er dermed -0,5.

Vi finder den anden løsning ved at indsætte et minustegn:

Sådan har vi beregnet den anden løsning til at være -2. Normalt skriver man dog de to udregninger samlet på denne måde:

Vi kan skrive vores facit således:

• x = -0,5   V   x = -2

Bevis for løsningen af andengradsligningen

Sætningen lyder, at for andengradsligningen ax² + bx + c = 0 med diskriminanten d = b² - 4ac gælder det, at hvis d er mindre end 0, har ligningen ingen løsninger, hvis d er lig med 0, har sætningen netop én løsning, og hvis d er større end 0, har ligningen to løsninger.

Vi vil bevise, hvorfor løsningerne ser ud, som de gør. Først tager vi den generelle andengradsligning og ganger med 4a på begge sider af lighedstegnet (vi undgår at lave en parentes ved at gange 4a direkte ind på hvert led som vist med blå herunder):

Dernæst lægger vi b² til på begge sider:

Dernæst trækker vi 4ac fra på begge sider:

4ac går ud med hinanden på venstre side:

Vi ved, at formlen for diskriminanten er:

Derfor kan vi i ovenstående ligning bytte b² - 4ac på højre side af lighedstegnet ud med d, da de jo er lig hinanden.

Det giver os en formel for d, som vi lader stå for nu.

Nu skal vi bruge en kvadratsætning med leddene 2ax og b, som vi omskriver:

I leddet (2ax)² ophæver vi parentesen ved at gange ”i anden” ind på hver plads:

Vi reducerer leddet 2*2ax*b ved at gange tallene med hinanden:

Vi kan også kaldet leddet 4abx, eftersom rækkefølgen er ligegyldig, når man kun ganger. Disse omskrivninger giver os sætningen:

Højre side af lighedstegnet ovenover er nu helt magen til venstre side i den formel for d, som vi før lod stå:

Vi kan derfor sætte to øvrige størrelser lig hinanden:

For at løse ligningen vil vi bestemme x.

Hvis d er negativ, går ligningen ikke op. Resultatet af (2ax + b)² vil aldrig kunne give noget negativt, for hvis 2ax + b giver et minustal, bliver det plus, når man opløfter det i anden, fordi minus gange minus giver plus. Et tal opløftet i anden kan aldrig give minus.

Dermed har vi bevist, at:

Hvis d er lig med 0, ser ligningen således ud:

Hvis et hvilket som helst tal opløftet i anden skal give 0, skal tallet også selv være 0. Derfor gælder det, at:

Vi isolerer x i ligningen. Først trækker vi b fra på begge sider af lighedstegnet. Det går ud med b’et på venstre side:

Dernæst dividerer vi med 2a, som går ud med 2a på venstre side:

Dette er dermed den eneste løsning for x, hvis diskriminanten er lig med 0.

Hvis d er positiv, ser vi igen på ligningen:

Her er det ligegyldigt, hvad resultatet inde i parentesen bliver. Hvis det er et positivt tal, er d positiv, for plus gange plus giver plus. Hvis det er et negativt tal, er d stadig positiv, fordi minus gange minus også giver plus.

Vi tager kvadratroden på begge sider af lighedstegnet:

Fortegnet kan både være plus og minus, da resultatet af 2ax + b både kan være et positivt og et negativt tal for at give den samme positive diskriminant.

Vi isolerer x i ligningen. Igen starter vi med at trække b fra på begge sider:

Igen dividerer vi også med 2a:

Der er to løsninger for x, eftersom d både kan have plus og minus som fortegn.

Sådan har vi bevist løsningerne af andengradsligningen.

Løsning af andengradsligninger med kvadratkomplettering

Man kan også løse en andengradsligning uden at finde diskriminanten, men derimod med en metode, der kaldes kvadratkomplettering. Her skal man kende kvadratsætningerne:

• (a + b)² = a² + b² + 2ab

• (a - b)² = a² + b² - 2ab

• (a + b)(a - b) = a² - b²

Vi kigger på et eksempel, hvor vi har denne andengradsligning:

• 2x² + 16x - 40 = 0

Først skal vi rykke konstantleddet (c) over på højre side af lighedstegnet:

• 2x² + 16x = 40

Derefter skal vi dividere med andengradsleddet (a):

• 2x²/2 + 16x/2 = 40/2

• x² + 8x = 20

Dernæst skal vi tage tallet foran x (som i vores tilfælde nu er 8), dividere det med 2, opløfte det i anden og lægge det til på begge sider af lighedstegnet:

• x² + 4² - 8x = 20 + 4²

Nu kan vi bruge anden kvadratsætning ((a - b)² = a² + b² - 2ab) til at samle venstre side af lighedstegnet (altså har vi et udtryk med formen a² + b² - 2ab, der skal omskrives til et udtryk med formen (a - b)²):

• x² + 4² - 8x = x² + 4² - 2*4x = (x - 4)²

Vi har omskrevet venstresiden, så vores ligning ser nu sådan her ud:

• (x + 4)² = 20 + 4²

Vi reducerer på højresiden:

• (x + 4)² = 20 + 4²

• (x + 4)² = 20 + 16

• (x + 4)² = 36

Herefter tager vi kvadratroden på begge sider:

Sidste trin er at isolere x:

Vi har dermed fundet andengradsligningens to løsninger, som er -10 og 2.

Forskel på andengradsligning og andengradspolynomium

Formen på en andengradsligning ligner forskriften for et andengradspolynomium, men der er forskel på de to.

En andengradsligning er en ligning, som man løser ved at bestemme x. Et andengradspolynomium er en funktion, hvor man sætter en x-værdi ind for at finde en y-værdi.

I andengradspolynomiet er x en uafhængig variabel, som man selv kan bestemme. Y-værdien er en afhængig variabel, fordi den afhænger af x-værdien. Man siger, at y er en funktion af x, så i stedet for at skrive y, skriver man f(x) (læses som “f af x”). Forskriften for et andengradspolynomium er dermed:

• f(x) = ax² + bx + c

Her gælder det også, at a ≠ 0, for ellers er det ikke et andengradspolynomium.

Vi kan fx have et andengradspolynomium, der ser sådan her ud:

• f(x) = 2x² - 3x + 2

Vi kan fx finde f af 1 ved at sætte 1 ind på x’s plads:

• f(1) = 2*1² - 3*1 + 2 = 2 - 3 + 2 = 1

På samme måde kan vi finde f af 2:

• f(2) = 2*2² - 3*2 + 2 = 8 - 6 + 2 = 4

Det betyder, at hvis vi har et koordinatsystem, hvor x-værdien er 1, er y-værdien 1, og hvis x-værdien er 2, er y-værdien 4, som illustreret her:

De blå punkter viser de koordinater, som vi beregnede før. Den grønne linje udgør grafen for andengradspolynomiet, som viser alle koordinater.

Grafen er en parabel. På ovenstående billede vender parablen opad, men den kan også vende nedad, som vist her:

Man kan også skelne mellem dem ved at kalde dem en “glad” parabel, hvis grenene vender opad, og en “sur” parabel, hvis grenene vender nedad.

Koefficienterne a, b og c i andengradspolynomiet fortæller os, hvordan grafen ser ud.

Tallet a er afgørende for parablens grene. Hvis a er større end 0, vender grenene opad, og hvis a er mindre end 0, vender grenene nedad. Hvis a er numerisk stor, er parablen smal og stejl, og hvis a er numerisk lille og tæt på 0, er parablen bred og flad.

Du kan se forskellen herunder. På billedet til venstre er a 3, og på billedet til højre er a 0,3. Begge tal er større end 0, så derfor vender grenene opad (man siger også, at det er en glad parabel).

Hvis a er -3 eller -0,3 (begge mindre end 0), vender grenene nedad, som vist her:

Tallet b angiver hældningen for tangenten til grafen, hvor den skærer y-aksen. Hvis b er større end 0, er hældningen positiv, og hvis b er mindre end 0, er hældningen negativ. Hvis b er 0, er hældningen 0.

Nedenunder kan du se eksempler, hvor b er henholdsvis -1,5, 0 og 1,5. Tangenten er den røde linje, der rammer grafen i det punkt, hvor grafen skærer y-aksen.

Tallet c angiver, hvor grafen skærer y-aksen. Alle ovenstående billeder viser grafer, hvor c er -1.

Det eller de steder, hvor grafen skærer x-aksen, er andengradspolynomiets nulpunkter. Et andengradspolynomium kan have nul, én eller to nulpunkter, alt efter om grafen skærer x-aksen nul, én eller to gange, som vist på disse billeder:

Hvad er formlen for toppunktet af et andengradspolynomium?

Et andengradspolynomium har et toppunkt. Det er det punkt, hvor parablen “buer” og har sit maksimum eller minimum (det kaldes stadig et toppunkt, selvom der er tale om et minimum).

Hvis parablen er sur, er toppunktet et maksimum, og hvis parablen er glad, er toppunktet et minimum, som vist her:

Hvis man har funktionen for et andengradspolynomium, kan man beregne grafens toppunkt ved hjælp af toppunktsformlen. Toppunktets x-koordinat (T_x) findes med denne formel:

Toppunktets y-koordinat (T_y) findes med denne formel:

Vi kan samle det, så det gælder for toppunktet, at:

Vi kigger på et eksempel. Vi vil finde toppunktet for parablen til dette andengradspolynomium:

• f(x) = 2x² - 8x + 5

Vi starter med at finde diskriminanten:

• d = b² - 4ac

• d = (-8)² - 4*2*5

• d = 64 - 40

• d = 24

Nu kan vi beregne toppunktets x- og y-koordinater:

Sådan har vi beregnet, at toppunktets koordinatsæt er (2, -3).

Bevis for toppunktsformlen

Som nævnt ovenfor, er finder man en parabels toppunkt med denne formel:

Vi vil nu bevise, hvorfor formlen ser sådan ud. Det skal vi gøre ved hjælp af differentialregning.

Vi starter med det generelle andengradspolynomium:

• f(x) = ax² + bx + c

Vi differentierer denne funktion – altså finder den afledede funktion:

• f’(x) = 2ax + b

Den afledede funktion viser hældningen i et bestemt punkt, og hældningen i toppunktet er 0. Derfor kan vi sætte den afledede funktion lig med 0:

• 2ax + b = 0

Nu kan vi bestemme x-koordinatet for toppunktet ved at isolere x:

• 2ax + b = 0

• 2ax = -b

• x = -b/2a

Altså har vi fundet toppunktets x-koordinat:

Næste trin er at finde y-koordinaten. Vi har et udtryk for x, som vi indsætter på x’s plads i den oprindelige funktion for andengradspolynomiet:

Vi skal nu have omskrevet højresiden til noget mere simpelt. I det første led ganger vi potensen ind i brøken, så -b² bliver til b², og 2a bliver til 4a². I det andet led ønsker vi ikke at have en negativ værdi i brøkens tæller, så vi ændrer fortegnet og husker dermed også at ændre leddets fortegn:

Nu ganger vi a og b ind i tællerne:

I det første led går a ud med a:

Nu ønsker vi, at alle tre led skal være en brøk med 4a i nævneren:

Vi samler udtrykket således:

Nu er nævnerne ens i hvert led, så vi kan samle brøkerne:

Vi reducerer udtrykket ved at trække 2b² fra b²:

Nu sætter vi et minus foran oppe i tælleren, så fortegnene inde i parentesen bliver ændret:

Udtrykket b² - 4ac har vi set før. Det er nemlig formlen for diskriminanten. Derfor kan vi erstatte det med d:

Vi har nu fundet y-koordinaten og dermed bevist, at toppunktsformlen er:

Faktorisering af andengradspolynomier

Faktorisering går ud på at omskrive til et produkt (et produkt er resultatet af noget ganget sammen, og det, der ganges sammen, kaldes faktorer). Når man faktoriserer ligninger, får man typisk brug for nulreglen, som lyder, at mindst en af faktorerne skal være 0, for at produktet kan blive 0 (når man ganger noget med 0, giver det altid 0).

Lad os vise det med en simpel ligning:

• 8 + 2x = 0

Vi skal finde ud af, hvad x skal være, for at udtrykket kan give 0. Her kan vi bruge faktorisering. Vi faktoriserer venstre side af ligningen ved at sætte 2 uden for parentes, så vi får denne ligning:

• 2(4 + x) = 0

Det er det omvendte af at gange ind i parentesen. Nu har vi to faktorer:

• 2

• 4 + x

2 kan naturligvis ikke være 0, så derfor må udtrykket (4 + x) give 0, hvilket bliver opfyldt, når x = -4.

Man kan ligeledes faktorisere andengradspolynomier, når man kender nulpunkterne (også kaldet rødderne). Som nævnt er det det eller de punkter, hvor grafen skærer x-aksen. I stedet for at skrive forskriften for et andengradspolynomium:

• f(x) = ax² + bx + c

… faktoriserer vi udtrykket således:

• f(x) = a*(x - r₁)*(x - r₂)

Her er r₁ og r₂ de to rødder/nulpunkter.

Lad os gennemgå et eksempel. Vi skal finde forskriften for et andengradspolynomium, som har rødderne -1 og 3, og som går gennem punktet (0, -6). Vi starter med at sætte rødderne ind i den faktoriserede forskrift:

• f(x) = a*(x - (-1))*(x - 3) = a*(x + 1)*(x - 3)

Nu ønsker vi at finde a, så vi sætter punktet (0, -6) ind:

• -6 = a*(0 + 1)*(0 - 3)

• -6 = a*1*(-3)

• -6 = -3a

• (-6)/(-3) = a

• a = 2

Vi får dermed denne forskrift:

• f(x) = 2*(x + 1)*(x - 3)

Til sidst ønsker vi at gange parenteserne ud, så vi får andengradspolynomiets almindelige form:

• f(x) = 2*(x + 1)*(x - 3)

• f(x) = 2*(x² - 3x + x - 3)

• f(x) = 2*(x² - 2x - 3)

• f(x) = 2x² - 4x - 6

Sådan har vi fundet forskriften for andengradspolynomiet.