Lineære funktioner støder vi tit på i matematiktimerne, men også i den virkelige verden. I dette indlæg gennemgår vi alt, hvad der er værd at vide om lineære funktioner.
Helt præcist kommer vi ind på:
Hvad er en lineær funktion?
Hvad er a og b i en lineær funktion?
Isoler x i lineær funktion
Vækstegenskaber for en lineær funktion
Bestem forskrift for lineær funktion ud fra to punkter
Vi gennemgår, hvad der generelt gælder for lineære funktioner, men vi kommer også med eksempler. Hvis du sidder og mangler hjælp til dine opgaver, kan du finde lektiehjælp i matematik hos GoTutor – både til dig i folkeskolen og på gymnasiet.
Hvad er en lineær funktion?
En lineær funktion er en funktion med forskriften:
f(x) = ax + b
Det er det samme, som hvis man skrev:
y = ax + b
a og b er konstanter, mens x og y er variable. x er en uafhængig variabel, hvilket betyder, at vi selv bestemmer, hvad vi sætter ind på x’s plads. y er en afhængig variabel, fordi dens værdi afhænger af x-værdien. Man siger altså, at y er en funktion af x, og det er derfor, vi i stedet for y som regel skriver f(x) (læses “f af x”), som vi viste først.
Man bruger lineære funktioner til at vise, at når x-værdien vokser eller aftager med en fast værdi, vokser/aftager y-værdien med en fast værdi.
Lad os kigge på et eksempel. Vi skal på ferie i en storby, hvor vi forventer at skulle køre meget med metro, så vi bestiller et metrokort. Kortet koster 50 kr. i gebyr, og dernæst betaler vi 20 kr. pr. tur med metroen inden for vores zone. Det kan vi skrive som en lineær funktion:
f(x) = 20x + 50
Hvor meget vi ender med at skulle betale (y-værdien) afhænger af, hvor mange ture vi tager med metroen (x-værdien). Hvis vi er med metroen 7 gange, sætter vi 7 ind på x’s plads i funktionen:
f(7) = 20*7 + 50 = 190
Altså koster 7 ture 190 kr. på metrokortet. Det kan også være, at vi rejser 11 gange med metroen. Så sætter vi bare 11 ind på x’s plads:
f(11) = 20*11 + 50 = 270
11 ture med metroen koster dermed 270 kr.
Hvad er a og b i en lineær funktion?
En lineær funktion har som nævnt følgende forskrift:
f(x) = ax + b
a i en lineær funktion angiver hældningen, det vil sige det, som y vokser eller aftager med, når man går 1 ud ad x-aksen.
b viser, hvor grafen skærer y-aksen. b kaldes også begyndelsesværdien.
Hvis a er større end 0 (a > 0), er hældningen voksende, som vist her:
Hvis a er mindre end 0 (a < 0), er hældningen aftagende, som vist her:
Hvis a er lig med 0 (a = 0), har grafen ikke en hældning, som vist her:
Isoler x i lineær funktion
Indtil videre har vi set, hvordan vi får en y-værdi ud fra en x-værdi. Men det kan også være, at y-værdien er bestemt, og man skal finde x-værdien. Så skal man isolere x i forskriften for den lineære funktion.
Vi kigger på følgende eksempel:
f(x) = 3x + 4
Vi får at vide, at y = 28. y er det samme som f(x), så vi kan sætte vores y-værdi ind sådan her:
28 = 3x + 4
Nu er det ligesom at løse en ligning, hvor man også skal isolere x. Først skal vi have 4 over på den anden side af lighedstegnet, og det gør vi ved at trække 4 fra på begge sider:
28 - 4 = 3x + 4 - 4
24 = 3x
Så skal vi have lavet 3x om til x, og det gør vi ved at dividere med 3 på begge sider:
24/3 = 3x/3
8 = x
Sådan har vi beregnet, at vores x-værdi er 8. Hvis vi vil tjekke, at vi har regnet rigtigt, kan vi sætte 8 ind på x’s plads i forskriften og se, om vi ender med en y-værdi på 28, som vi gerne skulle:
f(8) = 3*8 + 4 = 24 + 4 = 28
Det passer heldigvis. I stedet for at følge hvert trin, som vi har gennemgået, kan man følge denne formel, hvor x allerede er isoleret:
Lad os tage et eksempel, hvor vi beregner x på denne måde. Vi får denne forskrift:
f(x) = 5x - 9
Vi får at vide, at y = 46, så vi får denne ligning:
46 = 5x - 9
Disse tal sætter vi ind i formlen:
Husk, at minus minus giver plus. Sådan har vi beregnet vores x-værdi til at være 11, så vi skriver x = 11. Igen kan vi tjekke efter, om vi ender med en y-værdi på 46, hvis vi sætter 11 ind på x's plads:
f(11) = 5*11 - 9 = 55 - 9 = 46
Vækstegenskaber for en lineær funktion
Når x-værdien vokser med en fast værdi, vokser y-værdien også med en fast værdi. For en lineær funktion gælder det altså, at en absolut x-tilvækst giver en absolut y-tilvækst.
Den absolutte tilvækst er slutværdien (x₂) minus begyndelsesværdien (x₁). Den kaldes ∆x (“delta x”). Formlen for absolut tilvækst er altså:
∆x = x₂ - x₁
Formlen for tilvæksten for en lineær funktion er:
Δy = a ⋅ Δx
Altså betyder det, at den absolutte tilvækst af y er lig med hældningen gange den absolutte tilvækst af x.
Vi kigger på et eksempel. Vi har funktionen y = 4x + 11 og vil gerne finde ud af, hvor meget y vokser, hvis x vokser med 3. Vi sætter vores tal ind i formlen:
Δy = 4 ⋅ 3 = 12
Det betyder, at når x vokser med 3, vokser y med 12.
Et andet eksempel kan være, at vi får at vide, at x-værdien aftager fra 13 til 4 i denne forskrift:
f(x) = -2x + 23
Vi skal beregne, hvor meget y-værdien er aftaget med. Vi bruger formlen for absolut tilvækst og sætter ind i formlen for tilvæksten for en lineær funktion:
Δy = a ⋅ (x₂ - x₁)
Δy = (-2)*(13 - 4) = (-2)*9 = -18
Sådan har vi beregnet, at den absolutte tilvækst af y er -18.
Bestem forskrift for lineær funktion ud fra to punkter
Hvis vi i en lineær funktion har to punkter (x₁, x₂) og (y₁, y₂), kan vi bestemme forskriften for funktionen – altså skal vi finde a og b. Først kan vi finde a med denne formel:
Lad os tage et eksempel. Vi har to punkter med koordinaterne (2, 9) og (5, 15). Vi sætter dem ind i formlen:
Det betyder, at a er 2. Nu skal vi finde b. Vi tager udgangspunkt i ét af punkterne (2, 9) og sætter tallene ind i formlen for den lineære funktion:
y = ax + b
9 = 2*2 + b
Vi isolerer b i ligningen:
9 - 2*2 = b
b = 5
Nu har vi a og b, og dermed har vi regneforskriften:
f(x) = 2x + 5
Mere generelt kan man skrive, at formlen for b, når man har fundet a, er:
b = x₂ - a ⋅ x₁
Eller
b = y₂ - a ⋅ y₁
Det giver det samme resultat. Altså kunne vi også have sat punktet (5, 15) ind og fået samme resultat for b:
b = 15 - 2*5 = 15 - 10 = 5
Nu har vi gennemgået alt, hvad der er værd at vide om lineære funktioner. Hvis du vil vide mere om funktioner, kan du læse vores indlæg om eksponentielle funktioner, potensfunktioner eller funktioner generelt.