Binomialfordeling er en type sandsynlighedsregning, hvor man gentager et forsøg et bestemt antal gange, og hvor forsøget altid har to udfald. Læs med i indlægget her, hvor vi med eksempler gennemgår, hvad binomialfordeling er.
Binomialfordeling: Hvad er binomialfordeling?
Vi kan forestille os, at vi i et forsøg kaster med en mønt, så den lander og vender med den ene side opad. Siderne på en mønt hedder ‘plat’ og ‘krone’. Lad os sige, at vi ønsker at slå plat, og vi gentager vores forsøg seks gange. Sandsynligheden for at få x antal plat fordeler sig sådan her:
Som du kan se, er der størst sandsynlighed (31,25 %) for at få plat tre gange, og der er mindst sandsynlighed (0,016 %) for at få plat nul eller seks gange.
Vi vil nu gennemgå, hvordan man laver sådanne beregninger, hvor vi tager udgangspunkt i et andet eksempel. Det hedder, at man laver et binomialforsøg.
Binomialforsøg: eksempel
Generelt kan man sige, at binomialforsøget altid har præcis to udfald: succes og fiasko. Man gentager et forsøg n antal gange. Desuden skal der være en fast sandsynlighed for, at det ene udfald er en succes. Denne sandsynlighed betegner man p.
Eksempel: Vi spiller yatzy med seks terninger, og vi vil gerne bestemme sandsynligheden for, at vi slår præcis to seksere i første kast – hverken flere eller færre. I stedet for at vi kaster alle seks terninger på samme tid, kan vi kaste dem hver for sig, da slagene er uafhængige af hinanden. Derfor er n = 6 (altså vi gentager forsøget seks gange).
Vores succes er, at terningen viser 6. Det er en fiasko, hvis terningen viser 1, 2, 3, 4 eller 5. Sandsynligheden for succes er altså 1 ud af 6. Derfor er p = 1/6.
Omvendt er sandsynligheden for at få noget andet end en sekser 5 ud af 6.
Mere generelt kan man skrive:
psucces = p
pfiasko = 1 - p
Det vil sige, at fordi p er sandsynligheden for succes, er sandsynligheden for fiasko resten, det vil sige 1 minus p.
Det antal succeser, som vi ønsker, betegner vi r. I vores tilfælde er r = 2, da vi ønsker netop to seksere med seks terningekast – hverken flere eller færre. Hvis vi vil være mere præcise, kan vi ønske, at sekserne skal komme i en bestemt rækkefølge, fx at de to første slag skal være en sekser, mens de fire sidste slag ikke skal være en sekser. For at bestemme denne sandsynlighed skal vi bruge denne formel:
pr ⋅ (1 - p)n-r
I vores tilfælde har vi fastlagt, at p = 1/6, r = 2 og n = 6, så vores regnestykke ser sådan her ud:
Vi vil omregne dette resultat til procent ved at flytte kommaet to pladser til højre. Det vil sige, at der er 1,34 % sandsynlighed for at få netop denne kombination med først en sekser, så en sekser mere og så fire slag, der ikke er seksere. Hvis vi vender tilbage til vores oprindelige mål – nemlig at få to seksere, hverken mere eller mindre og ubestemt af rækkefølgen – skal vi gange antal muligheder på.
Hvad mener vi så med antal muligheder? Eksempelvis er der fire muligheder for at få plat eller krone, når man kaster med en mønt to gange:
plat + plat
plat + krone
krone + plat
krone + krone
Generelt kan man beregne antal muligheder ved hjælp af følgende formel:
K står for antal kombinationer, og udråbstegnet betyder ‘fakultet’. Man læser formlen som: “Antal kombinationer med n forsøg og r succeser er lig med n fakultet divideret med r fakultet gange n minus r fakultet.”
Fakultet til et tal betyder produktet af en talrække af de positive hele tal til og med tallet selv. Produktet er det resultat, som man får, når man ganger tal sammen. Eksempler:
4! = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1
10! = 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1
Mere generelt kan man skrive:
n! = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2) ⋅ (n - 3) … ⋅ 1
Lad os nu sætte vores tal ind i formlen for antal muligheder:
Dette betyder, at hvis vi vil have præcis to seksere, når vi slår med terningen seks gange, er der 15 forskellige muligheder for, hvilken rækkefølge sekserne kan komme i. Nu skal vi gange antal mulige kombinationer med sandsynligheden for at få en bestemt kombination.
15 ⋅ 0,0134
Hvorfor ganger vi disse tal med hinanden? Se, vi ønskede ikke en bestemt rækkefølge – kun at vi ville få præcis to seksere. Hvis man tager en bestemt kombination af præcis to seksere, kan rækkefølgen se ud på disse 15 forskellige måder, hvor 6 står for en sekser, og x skal forestille alt andet end en sekser, og hver af disse 15 forskellige kombinationer har hver 1,34 % sandsynlighed, fordi kastene med terningen er uafhængige af hinanden.
6, 6, x, x, x, x | x, 6, 6, x, x, x | x, x, 6, x, 6, x |
6, x, 6, x, x, x | x, 6, x, 6, x, x | x, x, 6, x, x, 6 |
6, x, x, 6, x, x | x, 6, x, x, 6, x | x, x, x, 6, 6, x |
6, x, x, x, 6, x | x, 6, x, x, x, 6 | x, x, x, 6, x, 6 |
6, x, x, x, x, 6 | x, x, 6, 6, x, x | x, x, x, x, 6, 6 |
Ved at gange antal mulige kombinationer med sandsynligheden for at få en bestemt kombination får man sandsynligheden for at få præcis r succeser – uanset rækkefølgen. Vi kan derfor samle formlerne til én:
Hold tungen lige i munden: Man læser formlen som “Sandsynligheden for at få præcis r succeser er p opløftet i r gange 1 minus p opløftet i n minus r gange n fakultet divideret med r fakultet gange n minus r fakultet.”
Husk, at:
n = antal gange man gentager forsøget
p = sandsynligheden for succes
r = antal succeser man ønsker
Vi sætter tallene ind fra vores eksempel:
Det vil sige, at der er 20,09 % sandsynlighed for at slå præcis to seksere, når man kaster med seks terninger – eller kaster med en terning seks gange.
X angiver antal succeser i et binomialforsøg. Binomialfordelingen viser, hvordan sandsynligheden for de forskellige X’er fordeler sig. Igen kan vi vise med et diagram, hvordan sandsynligheden for at slå x antal slå seksere fordeler sig:
Øverst i dette indlæg så vi et diagram for møntkast, som var spejlvendt, fordi der er lige stor sandsynlighed for succes (plat) og fiasko (krone) i hvert forsøg, men her er der forskel på sandsynligheden for succes (1 ud af 6) og sandsynligheden for fiasko (5 ud af 6), og derfor ser diagrammet sådan ud.
Hvis du stadig mangler hjælp til binomialfordeling eller andre emner inden for matematik, kan du finde lektiehjælp i matematik hos GoTutor.