Rumfang og overfladeareal: Formler og eksempler med forskellige figurer

Af Isabella Viborg Grarup 03-12-2023
Rumfang og overfladeareal: Formler og eksempler med forskellige figurer

Rumfang og overfladeareal bruges til at beregne størrelser på tredimensionelle figurer. I dette indlæg gennemgår vi formlerne for fem forskellige figurer: kasse, cylinder, kugle, kegle og pyramide.

Helt præcist besvarer vi disse spørgsmål:

  • Hvad er forskellen på overfladeareal og rumfang?

  • Hvordan regner man rumfang af en kasse?

  • Hvordan regner man overfladearealet af en kasse?

  • Hvordan regner man rumfang af en cylinder?

  • Hvordan regner man overfladearealet af en cylinder?

  • Hvordan regner man rumfang af en kugle?

  • Hvordan regner man overfladearealet af en kugle?

  • Hvordan regner man rumfang af en kegle?

  • Hvordan regner man overfladearealet af en kegle?

  • Hvordan regner man rumfang af en pyramide?

  • Hvordan regner man overfladearealet af en pyramide?

  • Oversigt over formler for rumfang og overfladeareal

Hvis du har svært ved matematik, tilbyder GoTutors dygtige og erfarne undervisere lektiehjælp i matematik.



Hvad er forskellen på overfladeareal og rumfang?

Når man har en tredimensionel figur, som fx en kasse, en cylinder, en kugle, en kegle eller en pyramide, kan man beregne figurens overfladeareal eller rumfang. Rumfang handler om, hvor meget figuren fylder, og overfladearealet handler om, hvor stor figurens overflade er.

Hvis vi fx har en kasse, svarer kassens rumfang til, hvor meget der kan være i kassen, mens kassens overfladeareal svarer til, hvor meget kassens sider fylder.



Hvordan regner man rumfang af en kasse?

En kasse har seks sider. Hvis alle sider er rektangler, har kassen en længde, en bredde og en højde, som vist på billedet her:

Rumfang af en kasse



For at beregne rumfanget af en kasse skal man gange længden, bredden og højden sammen.

Rumfang af en kasse - formlen



I formlen kan du måske se, at l står for længde, b står for bredde, og h står for højde. V står for volumen. Rumfang og volumen er det samme.

Vi kigger på et eksempel. Vi har en kasse med en længde på 5 cm, en bredde på 4 cm, og en højde på 3 cm. Regnestykket ser sådan her ud:

Rumfang af en kasse - eksempel



Sådan har vi beregnet, at kassen har et rumfang på 60 cm³ (60 kubikcentimeter).



Hvordan regner man overfladearealet af en kasse?

En kasse har som nævnt seks sider. Hvis siderne er rektangler, består de af tre par, hvor hvert par består af to lige store sider. Se billedet her:

Overflade areal af en kasse



De blå sider viser længden ganget med bredden. De gule sider viser længden ganget med højden. De grønne sider viser bredden ganget med højden. Formlen for overfladearealet af en kasse ser derfor sådan her ud:

Overflade areal af en kasse - formlen



Som formlen viser, kan man gange længden, bredden og højden parvist sammen og derefter gange de dele med 2, fordi der er to af hver type side.

Lad os beregne samme eksempel fra før, hvor kassens mål er 5 cm x 4 cm x 3 cm. Regnestykket ser sådan ud:

Overflade areal af en kasse - eksempel



Vi husker at følge regnearternes hierarki, så først skal vi beregne det, der står inde i parentesen, og vi ganger, før vi plusser. Sådan kan vi regne os frem til, at kassen har et overfladeareal på 94 cm² (kvadratcentimeter).



Hvordan regner man rumfang af en cylinder?

En cylinder er en figur, der har en cirkelformet top og bund, og så har den en højde, som vist her:

Rumfang af en cylinder



Man finder rumfanget af en cylinder ved at gange cirklens areal med højden. Formlen for arealet af en cirkel ser sådan ud:

Areal af en cirkel - formlen



Så formlen for rumfanget af en cylinder lyder sådan:

Rumfang af en cylinder - formlen



Lad os beregne et eksempel. Vi har en cylinder med en højde på 5 cm og en radius på 3 cm. Regnestykket er derfor:

Rumfang af en cylinder - eksempel



Vores cylinder har dermed et rumfang på 141,37 cm³.



Hvordan regner man overfladearealet af en cylinder?

En cylinders samlede overflade kan deles op i tre: en top og en bund, der er lige store (det er de lyserøde områder på billedet nedenunder), og den krumme overflade mellem toppen og bunden (det blå område).

Overflade areal af en cylinder



Vi finder arealet af den krumme overflade ved at gange cylinderens højde med cirklens diameter. Formlen for en cirkels omkreds kan se sådan her ud:

Formlen for cirkels omkreds



Vi har set, at man finder arealet af en cirkel ved at gange radius i anden med pi, og vi har to cirkler i cylinderens overflade, så vi ganger med 2. Det lægger vi til den krumme overflade og får dermed denne formel for overfladearealet af en cylinder:

Overfladeareal af en cylinder - formlen

Overfladeareal af en cylinder - formlen refaktoreret



Lad os se på et eksempel, hvor vi igen har en cylinder med en højde på 5 cm og en radius på 3 cm. Regnestykket ser sådan ud:

Overfladeareal af en cylinder - eksempel



Vores beregning viser, at cylinderen har et overfladeareal på 150,8 cm².



Hvordan regner man rumfang af en kugle?

En kugle er helt rund og har derfor ikke nogen flade sider. En afstand, som man kan måle i en kugle, er dens radius, dvs. afstanden fra kuglens centrum til periferien (ydersiden).

Rumfang af en kugle



Man skal derfor kun kende kuglens radius for at beregne kuglens rumfang, og man skal bruge denne formel til beregningen:

Rumfang af en kugle - formlen



Det kan også være, at man kender kuglens diameter. Diameteren er altid dobbelt så lang som radiussen, så hvis man kun kender diameteren, kan man dividere med 2 for at finde radiussen.

Lad os kigge på et eksempel, hvor vi finder rumfanget af en kugle, der har en radius på 4 cm. Regnestykket ser sådan ud:

Rumfang af en kugle - eksempel



Sådan har vi beregnet, at kuglen har et rumfang på 268,08 cm³.



Hvordan regner man overfladearealet af en kugle?

Man skal også kun kende kuglens radius (eller diameter) for at finde overfladearealet af kuglen.

Overflade areal af en kugle



Formlen for overfladeareal af en kugle er denne:

Overflade areal af en kugle - formlen



Igen kan vi beregne et eksempel, hvor en kugle har en radius på 4 cm. Vi får dette regnestykke:

Overflade areal af en kugle - eksempel



Altså har kuglen et overfladeareal på 201,06 cm².



Hvordan regner man rumfang af en kegle?

En kegle har en cirkelformet grundflade og en spids top. En kegle fylder en tredjedel af en cylinder, når cylinderen har samme højde og radius.

Rumfang af en kegle



For at finde rumfanget af en kegle skal vi derfor bruge formlen for rumfang af en cylinder og tage en tredjedel. Formlen for rumfang af en kegle er:

Rumfang af en kegle - formlen



Lad os se på et eksempel, hvor vi har en kegle med en højde på 5 cm og en radius på 3 cm. Vores regnestykke ser sådan ud:

Rumfang af en kegle - eksempel



Vi har nu beregnet, at keglen har et rumfang på 47,12 cm³.



Hvordan regner man overfladearealet af en kegle?

Når man skal finde overfladearealet af en kegle, skal man kende keglens radius og sidelængde.

Overfladeareal af en kegle



Man finder arealet af den krumme overflade ved at gange pi, radiussen og sidelængden sammen, og vi har set, at man finder arealet af en cirkel ved at opløfte radiussen i anden og gange med pi. For at finde en kegles samlede overfladeareal skal man lægge den krumme overflade og den cirkelformede grundflade sammen.

Overfladeareal af en kegle - formel

Overfladeareal af en kegle - formlen refaktoreret



Lad os beregne et eksempel. Vi forestiller os, at vi har en kegle med en radius på 3 cm og en sidelængde på 7 cm.

Overfladeareal af en kegle - eksempel



Vores kegle har dermed et overfladeareal på 84,25 cm².



Hvordan regner man rumfang af en pyramide?

En pyramide minder om en kegle, fordi den har en spids top, men i stedet for en cirkelformet flade har en pyramide en polygonal grundflade - dvs. en grundflade med flere lige linjestykker. Grundfladen kan være en trekant, en firkant, en femkant osv. Billedet nedenunder viser en pyramide med en kvadratisk grundflade.

pyramide med en kvadratisk grundflade



Pyramidens højde er afstanden fra fladen til spidsen, som er vist på figuren med h. Det adskiller sig fra pyramidens sidehøjde (højden på selve siden), som er vist med s på figuren.

Pyramidens grundflade er vist med det lyserøde felt nedenunder. Grundfladens sider har en længde, der er vist med g på figuren. I denne figur er grundfladen kvadratisk, hvilket betyder, at de fire sider er lige lange, og at længden g derfor er den samme, men man kan også have en pyramide, hvor grundfladen har et andet antal sider, eller hvor siderne ikke er lige lange.

Pyramidens ene side er vist med det blå felt nedenunder. Igen har denne figur fire lige store sider, fordi grundfladen er et kvadrat, men det er ikke altid tilfældet.

To pyramider



En pyramide fylder en tredjedel af en kasse, når kassen har samme højde, bredde og længde. Formlen for rumfang af en pyramide er derfor:

Formlen for rumfang af en pyramide



Det store G er grundfladens areal. Det er en generel betegnelse, fordi grundfladen kan have mange former og dermed have forskellige formler for areal. Hvis grundfladen fx er en trekant, skal man sætte formlen for arealet af en trekant ind på G’s plads i ligningen.

Vi kigger på et eksempel med en kvadratisk grundflade. Grundfladens længde er 4 cm, og pyramidens højde er 6 cm. Vi beregner grundfladens areal ved at sige 4 gange 4, så det sætter vi ind på G’s plads:

Formlen for rumfang af en pyramide - eksempel



Sådan har vi beregnet, at pyramidens rumfang er 32 cm³.



Hvordan regner man overfladearealet af en pyramide?

Man finder overfladearealet af en pyramide ved at lægge arealet af grundfladen sammen med arealerne af siderne. Uanset hvad grundfladens form er (fx trekant, firkant, femkant osv.), vil siderne altid være trekantede. Man finder arealet af en trekantet side med denne formel:

Arealet af en trekant



Denne formel skal man gange med n antal sider (hvis siderne er lige store) og lægge arealet af grundfladen til, så formlen for overfladearealet af en pyramide er:

Overfladearealet af en pyramide



Lad os se på et eksempel, hvor vi vil beregne overfladearealet af en pyramide, som har en kvadratisk grundflade. Vi har disse fem arealer, som vi skal lægge sammen:

Pyramide med fem arealer



Dvs. en kvadratisk grundflade og fire lige store sider. Vi forestiller os, at grundfladens længde er 3 cm, og at pyramidens sidehøjde er 7 cm. Regnestykket ser derfor sådan her ud:

Overfladearealet af en pyramide - eksempel



Vores pyramide har dermed et overfladeareal på 51 cm².

Vær opmærksom på, at man kun kan gange med n antal sider, når siderne er lige store. Hvis siderne ikke er lige store, skal man beregne arealet af hver side og lægge dem sammen, og så kan man lægge siderne sammen med grundfladen.

Oversigt over formler for rumfang og overfladeareal

Vi har nu gennemgået formler for rumfang og overfladeareal af fem forskellige figurer. Her samler vi dem i en oversigt.

  • Formel for rumfang af en kasse:

Formel for rumfang af en kasse


  • Formel for overfladearealet af en kasse:

Formel for overfladearealet af en kasse


  • Formel for rumfang af en cylinder:

Formel for rumfang af en cylinder


  • Formel for overfladearealet af en cylinder:

Formel for overfladearealet af en cylinder


  • Formel for rumfang af en kugle:

Formel for rumfang af en kugle


  • Formel for overfladearealet af en kugle:

Formel for overfladearealet af en kugle


  • Formel for rumfang af en kegle:

Formel for rumfang af en kegle


  • Formel for overfladearealet af en kegle:

Formel for overfladearealet af en kegle


  • Formel for rumfang af en pyramide:

Formel for rumfang af en pyramide


  • Formel for overfladearealet af en pyramide:

Formel for overfladearealet af en pyramide:



Der findes andre tredimensionelle figurer, som vi ikke har gennemgået her. Husk, at man kun kan finde rumfang og overfladeareal af tredimensionelle figurer. Man kan ikke finde rumfang og overfladeareal af todimensionelle figurer. Sammenlign figurerne her:

Man kan ikke finde rumfang og overfladeareal af todimensionelle figure



De gule figurer har kun to dimensioner, og de grønne figurer har tre dimensioner. Det betyder, at todimensionelle figurer er flade, mens tredimensionelle figurer har dybde. Man kan derfor ikke beregne overfladeareal eller rumfang af en trekant, et rektangel, en cirkel, en trapez eller nogen andre todimensionelle figurer. Man kan til gengæld finde areal og omkreds af todimensionelle figurer.

Mød forfatteren:

Billede af

Hej, mit navn er Isabella! Jeg skriver indlæg her hos GoTutor. Jeg har en bachelorgrad i lingvistik (sprogvidenskab) og journalistisk formidling, og nu er jeg i gang med en kandidat i lingvistik på Københavns Universitet, så jeg har masser af viden at dele ud af!

Søger du privat lektiehjælp?

  • GoTutor er Danmarks bedst anmeldte

  • Mange års erfaring og en del af Egmont

  • Trænede og uddannede undervisere

  • Fast lav pris og fair vilkår


Eller kontakt os på: info@gotutor.dk

Du vil måske også synes om

Trigonometri: Lær om tangens, sinus og cosinus
Trigonometri: Lær om tangens, sinus og cosinus

Trigonometri er et område inden for matematik, som går ud på at beregne størrelserne på vinkler og s...

Isabella Viborg Grarup 01-02-2024
Minus/subtraktion: Sådan trækker du tal fra andre tal
Minus/subtraktion: Sådan trækker du tal fra andre tal

Minus eller subtraktion er en regneart, som man tit møder i regnestykker. Man kan regne store minuss...

Isabella Viborg Grarup 06-10-2023
Omregning af enheder
Omregning af enheder

Omregning går ud på at regne noget på en anden måde. Man omregner fra én enhed til en anden, fx fra...

Isabella Viborg Grarup 19-01-2024
Lad os tale sammen

Vi er klar til at svare på dine spørgsmål.
Ring til os på:

71 99 71 90