Sandsynlighedsregning handler om at beregne sandsynligheder, som ordet fortæller. Nogle sandsynligheder er svære at beregne, fx hvis man spørger: “Hvad er sandsynligheden for at møde Justin Bieber i Tivoli?” Men andre sandsynligheder kan man præcist beregne, som når man spørger: “Hvad er sandsynligheden for at slå en 3’er med en terning?”
I dette indlæg gennemgår vi, hvordan man beregner simple sandsynligheder, som i eksemplet med terningen. Vi kommer ind på disse emner:
Hvad er sandsynlighedsregning?
Sandsynlighedsregning: Formel
Sandsynlighedsregning: Eksempler
Det skal du være opmærksom på
Hvis du vil lære mere om sandsynlighedsregning, kan du tjekke vores indlæg om kombinatorik og binomialfordeling. Du kan også tjekke vores matematikblog, hvis du søger hjælp til andre emner, og hvis du har brug for mere hjælp til matematik i skolen, sidder GoTutor klar med lektiehjælp i matematik.
Hvad er sandsynlighedsregning?
Sandsynlighedsregning går ud på at beregne sandsynligheden for, at man får et bestemt udfald. Et udfald er resultatet af ens eksperiment. Et eksperiment kan fx blot være at kaste med en terning og ønske at beregne sandsynligheden for at få et bestemt udfald. Som vist ovenfor kan vi for eksempel spørge: “Hvad er sandsynligheden for at slå en 3’er med en terning?”
En almindelig terning har seks sider, og der er lige stor sandsynlighed for at slå 1, 2, 3, 4, 5 og 6. Altså er der seks mulige udfald, og alle de mulige udfald udgør et udfaldsrum. Man kan vise de udfald, som udfaldsrummet består af, således:
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Men kun ét af disse udfald er gunstigt for os, nemlig en 3’er. Derfor er sandsynligheden for at slå en 3’er 1 ud af 6. Man kan også sige, at sandsynligheden for at slå en 3’er er omkring 16,67 %.
Sandsynlighedsregning: Formel
Generelt gælder det, at hvis der er lige stor sandsynlighed for alle udfald i et eksperiment, kan man beregne sandsynligheden ved at dividere antal gunstige udfald med antal mulige udfald.
Man kan skrive resultatet som en brøk (fx 1/6), som et tal i procent (fx 16,67 %) eller som et decimaltal (fx 0,17).
Resultatet skal altid være mellem 0 og 1 eller 0 % og 100 %, for man kan ikke få flere gunstige udfald, end der er mulige udfald.
Sandsynlighedsregning: Eksempler
Vi har allerede set et eksempel, men lad os gennemgå nogle flere.
Et eksempel kan være, at man kaster med to terninger, og man vil beregne sandsynligheden for at få en sum på 10. Fordi man har to terninger, er udfaldsrummet større:
U = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), ..., (6,6)}
Der er i alt 36 udfald, og tre af disse udfald er gunstige, fordi de giver en sum på 10: (4,6), (5,5) og (6,4). Vi beregner sandsynligheden for en sum på 10 således:
Sandsynligheden for at slå 10 med to terninger er altså 1 ud af 12 – eller 8,33 % eller 0,833.
Et andet eksempel kan være, at man har fem stykker slik i sin slikskål: tre grønne stykker og to røde stykker. Hvis man lukker øjnene og tager et stykke uden at kigge, kan man spørge: “Hvad er sandsynligheden for at tage et grønt stykke slik?”
Nu skal man være opmærksom på, at der ikke er lige så stor sandsynlighed for at tage et grønt og et rødt stykke slik, fordi der er flere grønne. Der er tre grønne stykker slik ud af fem i alt, så svaret er derfor 3 ud af 5 – eller 60 % eller 0,6.
Et tredje eksempel kan være, at man kaster tre mønter op i luften, og man vil gerne beregne sandsynligheden for, at alle tre mønter lander på krone. Sandsynligheden for at få krone med én mønt er 1 ud af 2 (det andet udfald er få plat). Udfaldsrummet er:
U = {(k,k,k), (k,k,p), (k,p,k), (p,k,k), (p,p,p), (p,p,k), (p,k,p), (k,p,p)}
Der er altså 8 mulige udfald, men kun 1 af disse udfald er gunstigt. Derfor er svaret, at sandsynlighed for, at tre mønter alle lander på krone, er 1 ud af 8 – eller 12,5 % eller 0,125.
Det skal du være opmærksom på
Sandsynlighedsregning handler om sandsynligheder, og nogle gange får man måske et udfald, som er meget usandsynligt. Men det ændrer ikke på, at sandsynligheden for hvert enkelt udfald stadig er den samme.
Det kan for eksempel være, at vi kaster med en terning 20 gange, og vi får hele syv 5’ere. Bare fordi vi har fået en 5’er 7 ud af 20 gange, betyder det ikke, at sandsynligheden for at slå en 5’er er 7 ud af 20 - den vil altid være 1 ud af 6. Du skal være opmærksom på, at sandsynlighedsregning ikke handler om det udfald, som man får, men derimod handler det om sandsynligheden for at få et bestemt udfald.
Jo flere gange man udfører sit eksperiment, des tættere vil udfaldene være på sandsynligheden. Dette kalder man Store Tals Lov. Hvis man fx kun kaster en terning én gang, er det kun muligt for terningen at lande på én side. Men hvis man kaster en terning 6000 gange, vil man få omkring 1000 udfald af hver side af terningen.
Noget mindre vigtigt er at være opmærksom på forskellen mellem ordene ‘sandsynlighed’, ‘chance’ og ‘risiko’.
Man bruger som regel ordet ‘sandsynlighed’, når man ikke håber på at få et bestemt udfald. Hvis man håber på et bestemt udfald – fx at man gerne vil slå en 6’er i pakkeleg – kan man bruge ordet ‘chance’, så chancen for at slå en 6’er er 1 ud af 6 (eller cirka 16,67 %). Hvis man omvendt håber på at undgå et bestemt udfald – fx at slå alt andet end en 6’er – kan man bruge ordet ‘risiko’, så risikoen for at slå noget andet end en 6’er er 5 ud af 6 (eller cirka 83,33 %).
Altså bruger man ‘chance’ om noget positivt, ‘risiko’ om noget negativt og ‘sandsynlighed’ om noget neutralt.