Dette indlæg handler om omvendt proportionalitet. Når vi skal udtale begrebet, kan tungen let slå knuder: propor… hvad for noget? Vi vil her give dig mulighed for at få en generel forståelse af, hvad det vil sige, at noget er omvendt proportionelt samt give eksempler på, hvordan begrebet kan kobles til hændelser fra vores hverdag. Så er det bare udtalen, der skal trænes efterfølgende!
Vi kommer ind på:
· Hvad er proportionalitet?
· Hvad er omvendt proportionalitet?
· Funktionsforskriften for en omvendt proportionalitet
· Grafens udseende
· Grafens placering i koordinatsystemet
· Symmetri-/spejlingsakser
· En anden proportionalitet: ligefrem proportionalitet
· Afrunding af emne
Hvad er proportionalitet?
Proportionalitet handler om, hvordan to faktorer forholder sig til hinanden. Det møder vi hele tiden i vores hverdag. Her er nogle eksempler på det:
1. Jo flere vi er til at spise af lagkagen, jo mindre stykke lagkage får vi hver
2. Jo hurtigere vi løber, jo kortere tid tager det at løbe 5 km
3. Jo flere is, vi køber, jo højere bliver prisen
Osv.
Lad os kalde de to faktorer x og y:
1. x = antal personer og y = størrelse på lagkagestykke
2. x = hastighed og y = tid
3. x = is og y = pris
Hvis x ændrer sig, så ændrer y sig også på en bestemt måde. Sagt på en anden måde: y ændrer sig i forhold til x. Det forholder sig sådan, at det engelske ord ”proportion” kan oversættes til det danske ord ”forhold.” Nu skal vi se nærmere på det, der kaldes omvendt proportionalitet.
Hvad er omvendt proportionalitet?
At noget er omvendt proportionelt vil sige, at hvis den ene faktor stiger, så falder den anden faktor. Og hvis den ene faktor falder, så stiger den anden faktor.
Altså: Hvis x gør ét, gør y det OMVENDTE.
Det er ligesom eksemplerne 1 og 2 ovenfor med lagkagen og med løbeturen. Disse to eksempler svarer til en omvendt proportionalitet. Her kan du se hvorfor:
- Hvis der bliver flere personer, der skal dele lagkagen, bliver deres andel af lagkagen mindre
- Hvis løbehastigheden stiger, tager det kortere tid at løbe turen.
Funktionsforskriften for en omvendt proportionalitet
Lad os nu kigge på funktionsforskriften for en omvendt proportionalitet:
Her ser vi, hvordan vores to faktorer x og y indgår. Vi kalder dem også variable, fordi det kan være en mængde af forskellige tal. Men husk, at værdien for y afhænger af værdien for x! Det gælder, at:
da man kan ikke dividere med 0
Lad os prøve at se på eksemplerne fra før med lagkagen og løbeturen. Hvordan vil de to forhold se ud, hvis vi prøver at skrive dem som en funktionsforskrift, dvs. på en måde, så vi ikke har fastlåst værdien for x og dermed værdien for y.
Lagkage:
Løbetur:
Nu skal vi se på bogstavet a. Du lægger måske mærke til, at a er skiftet ud med et tal i begge funktionsforskrifter. Tallet for a kaldes en konstant. En konstant er et tal, som ikke ændrer sig. Som du kan se, er a ændret til et konstant tal i begge funktionsforskrifter:
Eksemplet med lagkagen:
Her konstaterer vi, at a = 1, fordi der er én lagkage. Det, der ændrer sig, er antal personer og størrelsen på lagkagestykket. Lad os tage et regneeksempel:
Hvis der er to personer, der skal dele kagen: 1 (lagkage) divideres med 2 (personer). Det giver 0,5 (altså en halv lagkage til hver).
Eksemplet med løbeturen:
Her kan vi se, at a = 5, fordi løbeturen er 5 km. Det, der ændrer sig, er hastigheden og tiden, det tager at løbe turen. Lad os også her tage et regneeksempel:
Hvis jeg løber 10 km/t: 5 (km) divideres med 10 (km/t). Det giver 0,5 (altså en tid på en halv time).
Grafens udseende
Funktionsforskriften til en omvendt proportionalitet kan udtrykkes som en graf. Grafen kaldes en hyperbel.
Her er forskriften for eksemplet med lagkagen:
Enhederne på x-aksen udgør antal personer, og enhederne på y-aksen udgør andel af lagkagen. Vi kan finde punkter på grafen ved at sætte værdier ind for x og derefter udregne værdier for y. Her har vi udregnet tre punkter på grafen:
A = (1,1), B = (2, 0,5) og C = (4, 0,25)
Hvis antal personer = 1 er lagkagedel = 1. Det svarer til, at én person spiser hele kagen.
Hvis antal personer = 2 er lagkagedel = 0,5. Det svarer til, at to personer får en halv kage hver.
Hvis antal personer = 4 er lagkagedel = 0,25. Det svarer til, at fire personer får en kvart kage hver.
Bemærk! Hver gang x-værdien fordobles, halveres y-værdien
Her er forskriften for eksemplet med løbeturen:
Enhederne på x-aksen udgør løbehastighed, og enhederne på y-aksen udgør tid. Denne gang kan vi også prøve at aflæse et punkt på grafen, f.eks. A = (5,1). Vores aflæsning giver os følgende information: hvis hastigheden er 5 km/t, tager det præcis én time at løbe turen på 5 km.
Grafens placering i koordinatsystemet
Nu skal vi se, hvor en omvendt proportionalitet placerer sig i koordinatsystemet. Læg mærke til grafen fra før. Den ligger der, hvor både x-værdier og y-værdier er større end 0. Det er i den del af koordinatsystemet, som vi kalder første kvadrant. Et koordinatsystem består af i alt fire kvadranter, dvs. fire områder. Læs mere om kvadranter i et af vores andre blogindlæg. Nedenfor kan du se vores hyperbel og alle de fire kvadranter:
Du opdager måske, at der pludselig er en ekstra graf i tredje kvadrant. Denne graf er dog ikke en ny graf. Det er den anden halvdel af grafen til:
Man vil nemlig opdage, at sætter man negative værdier ind for x, bliver y-værdien også negativ. Det giver punkter i tredje kvadrant, f.eks. (-1,-1) og (-2,-0,5) osv.
MEN i vores hverdagseksempler bruger vi kun den del af grafen, hvor x-værdien er positiv og y-værdien dermed også positiv. Det giver IKKE mening at tale om f.eks. et negativt antal personer eller en negativ hastighed. Derfor har vi brug for at tilføje følgende til vores funktionsforskrift:
hvor det gælder, at x > 0
Lad os nu placere de to grafer fra før i det samme koordinatsystem:
Vi kan se, at den grønne graf ligger længere væk fra de to akser (x-aksen og y-aksen) end den grå graf.
Den grå graf (lagkagen):
Den grønne graf (løbeturen):
Konstanten a har betydning for grafens placering. Jo højere positiv værdi for a, jo længere væk fra akserne placerer grafen sig.
Symmetri-/spejlingsakser
Ved en omvendt proportionalitet har grafen to symmetri-/spejlingsakser, hvis man ser på både den positive og den negative del af grafen, og så længe vi sørger for at have den samme opdeling af enheder på de to akser. Vi ved, at funktionsforskriften:
hvor a > 0
og
har følgende grafiske udseende:
Det er vores hyperbel. I det følgende eksempel ser du de to symmetri-/spejlingsakser sammen med denne hyperbel:
De to symmetri-/spejlingsakser har funktionsforskrifterne:
y = x
og
y = -x
Det svarer til to lineære funktioner, hvis grafiske udtryk er en lige linje. De to dele af hyperblen kan spejles igennem disse to linjer. Forestil dig, at du folder et stykke papir langs symmetri-/spejlingsaksen. Så vil ”mønstrene” på hver side ligge lige oveni hinanden.
Du kan læse mere om lineære funktioner og funktioner generelt, x og y værdier og koordinatsystemet her på vores matematikblog.
En anden proportionalitet: ligefrem proportionalitet
Vi runder af, hvor vi startede. Det gør vi ved at se på det sidste eksempel, eksempel 3, fra afsnittet om: hvad er proportionalitet. Det er det med isen. Eksemplet her handler også om proportionalitet, men det er forskelligt fra eksempel 1 og 2. De to faktorer forholder sig ikke OMVENDT til hinanden men LIGEFREM. Det betyder, at hvis x stiger, stiger y. Og det betyder: Jo flere is, man køber, jo mere koster det.
Hvis x fordobles, fordobles y. Hvis x bliver 10 gange større, bliver y 10 gange større osv.
Det grafiske udtryk for en ligefrem proportionalitet er en ret linje, som ALTID skærer y-aksen i 0 og har funktionsforskriften:
Du får ikke mere at vide om ligefrem proportionalitet her. Blot ved du nu, at proportionalitetsbegrebet omfatter både omvendt proportionalitet og ligefrem proportionalitet.
Afrunding af emne
Nu er du forhåbentlig blevet lidt klogere på, hvad en omvendt proportionalitet er. Indlægget er ikke udtømmende for emnet. Dette er valgt, således at informationsmængden er mere overskuelig. Der er f.eks. mulighed at udvide funktionsforskriften med både en b og en c-værdi.
Nu mangler du måske blot at øve dig i at udtale begrebet omvendt proportionalitet, og det ønskes du held og lykke med!
Du er velkommen til at kigge rundt på vores matematikblog, hvor der ligger indlæg om mange forskellige emner inden for matematik – bl.a. baseret på vores store erfaring med at tilbyde lektiehjælp i matematik.