Hvis du ikke har helt styr på, hvad en potensfunktion er, men har brug for at vide det, fordi du måske sidder med en matematikaflevering eller skal forberede dig til en eksamen, så er du kommet til det helt rigtige sted!

I det her indlæg vil vi nemlig gennemgå potensfunktioner og besvare disse spørgsmål:

Hvad er en potensfunktion?
Hvad er a og b i en potensfunktion?
Isoler x i potensfunktion
Vækstegenskaber for en potensfunktion
Bestem forskrift for potensfunktion ud fra to punkter

Her hos GoTutor har vi mange års erfaring med netop lektiehjælp i matematik.

Hvad er en potensfunktion?

En potensfunktion er en funktion med forskriften:

f(x) = b ⋅ x^a

Her gælder det, at b > 0 og x > 0 (at b og x begge skal være større end nul).

Forskriften er det samme, som hvis man skrev:

y = b ⋅ x^a

a og b er konstanter, mens x og y er variable. x er en uafhængig variabel, hvilket betyder, at vi selv bestemmer, hvad vi sætter ind på x’s plads, så længe det er større end 0. y er en afhængig variabel, fordi dens værdi afhænger af x-værdien. Man siger altså, at y er en funktion af x, og det er derfor, vi i stedet for y som regel skriver f(x) (“f af x”), som vi viste først.

(Bemærk, at x er ophævet i a'ende potens og ikke omvendt. Man skal derfor være opmærksom på ikke at forveksle potensfunktioner med eksponentielle funktioner.)

Man bruger potensfunktioner til at vise, at når x-værdien vokser eller aftager med en fast procent, vokser/aftager y-værdien med en fast procent.

Hvad er a og b i en potensfunktion?

En potensfunktion har som nævnt følgende forskrift:

f(x) = b ⋅ xª

a afgør, om funktionen er voksende eller aftagende.

b viser, hvad y-værdien er, når x-værdien er 1. Det betyder, at grafen går gennem punktet (1, b).

Hvis a er større end 1 (a > 1), er funktionen voksende, som vist her:

Hvis a er mellem 0 og 1 (0 < a < 1), er funktionen også voksende, men kurven bøjer den anden vej, som vist her:

Hvis a er mindre end 0 (a < 0), er funktionen aftagende, som vist her:

Hvis a er lig med 1 (a = 1), er grafen en lige linje, som vist her:

Isoler x i eksponentiel funktion

Vi har set, hvordan vi får en y-værdi ud fra en x-værdi. Men det kan være, at du sidder med en opgave, hvor y-værdien er bestemt, og hvor du skal finde x-værdien. Så skal du isolere x i forskriften for potensfunktionen.

Vi kigger på dette eksempel:

f(x) = 4 ⋅ x²

Vi får at vide, at y = 100. y er det samme som f(x), så vi kan sætte vores y-værdi ind sådan her:

100 = 4 ⋅ x²

Nu er det ligesom at løse en ligning, som også går ud på, at man skal isolere x. Først skal vi have 4 over på den anden side af lighedstegnet, så vi dividerer med 4:

Nu kan vi isolere x ved at tage kvadratroden på begge sider:

Sådan har vi beregnet, at vores x-værdi er 5. Hvis vi vil tjekke, at vi har regnet rigtigt, kan vi sætte 5 ind på x’s plads i forskriften og se, om vi ender med en y-værdi på 100, som vi gerne skulle:

f(5) = 4 ⋅ 5² = 4 ⋅ 25 = 100

Det passer. I stedet for at følge hvert trin, som vi har gennemgået, kan man følge denne formel, hvor x allerede er isoleret:

Vi kan derfor også gennemgå et eksempel, hvor vi bare bruger formlen. Vi får forskriften:

f(x) = 3 ⋅ x^0,5

Vi får at vide, at y = 6, så vi sætter vores y-, a- og b-værdi ind i formlen:

Så får vi en x-værdi på 4. Igen kan vi tjekke vores facit efter ved at sætte 4 ind på x's plads i funktionen og se, om vi rigtigt nok får en y-værdi på 6:

f(4) = 3 ⋅ 4^0,5 = 3 ⋅ 2 = 6

Vækstegenskaber for en potensfunktion

Når x-værdien vokser med en fast procent, vokser y-værdien med en fast procent. For en potensfunktion gælder det altså, at en relativ x-tilvækst giver en relativ y-tilvækst.

Den relative tilvækst (r) er den absolutte tilvækst i forhold til begyndelsesværdien (x₁). Den absolutte tilvækst er slutværdien (x₂) minus begyndelsesværdien (x₁). Formlen for relativ tilvækst er altså:

Formlen for tilvæksten for en potensfunktion er:

r_y = k^a - 1

k er fremskrivningsfaktoren og beregnes ved at lægge den relative tilvækst af x til 1. Det betyder, at:

k = 1 + r_x

Det kan vi sætte ind på k’s plads i den forrige formel, så vores formel for tilvæksten for en potensfunktion er:

r_y = (1 + r_x)^a - 1

Altså betyder det, at den relative tilvækst af y er lig med 1 plus den relative tilvækst af x sat i parentes, opløftet i a, minus 1.

Vi kigger på et eksempel. Vi har funktionen y = 7 ⋅ x^1,14 og vil gerne finde ud af, hvor mange procent y stiger, hvis x vokser med 20 %. Vi sætter vores tal ind i formlen:

r_y = (1 + 0,2)^1,14 - 1 = 0,231

Det betyder, at når x vokser med 20 %, vokser y med 23,1 %.

Bestem forskrift for potensfunktion ud fra to punkter

Hvis vi i en potensfunktion har to punkter (x₁, x₂) og (y₁, y₂), kan vi bestemme forskriften for funktionen – altså skal vi finde a og b. Først kan vi finde a med denne formel:

Lad os tage et eksempel. Vi har to punkter med koordinaterne (1, 3) og (3, 27). Vi sætter dem ind i formlen:

Bemærk, at det er 10-talslogaritmen, som vi her har skrevet som log. Vi kunne også have skrevet log₁₀.

En logaritmeregneregel lyder, at når man tager logaritmen til to tal, som man trækker fra hinanden, er det det samme som at dividere de to tal og så tage logaritmen til dette tal. Altså kan vi skrive formlen om således:

Nu vil vi gerne lave 9 og 3 om til to potenser, der har samme grundtal. Grundtallet kan være 3. Dermed er eksponenten øverst 2, da 3² giver 9. Nederst er eksponenten 1, da 3¹ giver 3, men man behøver ikke at skrive en eksponent på 1.

Endnu en logaritmeregneregel lyder, at når man tager logaritmen til en potens, må man rykke eksponenten ned foran og gange med logaritmen til grundtallet. Så vi kan omskrive formlen på denne måde:

log(3) og log(3) går ud med hinanden i brøken. Det betyder, at a er 2. Nu skal vi finde b. Vi tager udgangspunkt i ét af punkterne (1, 3) og sætter tallene ind i formlen for potensfunktionen:

y = b ⋅ xª
3 = b ⋅ 1²

Vi isolerer b i ligningen:

3/1² = b
b = 3

Nu har vi a og b, og dermed har vi regneforskriften:

f(x) = 3 ⋅ x²

Mere generelt kan man skrive, at formlen for b, når man har fundet a, er:

Eller

Det giver det samme resultat. Altså kunne vi også have sat punktet (3, 27) ind og fået samme resultat for b:

b = 27/3² = 27/9 = 3

Nu har vi gennemgået alt, hvad der er værd at vide om potensfunktioner. Hvis du vil vide mere om funktioner, kan du læse vores indlæg om lineære funktioner, eksponentielle funktioner eller funktioner generelt.