Differentialregning: Lær at differentiere funktioner

I dette indlæg gennemgår vi, hvad differentialregning er, og hvordan man differentierer en funktion. Differentialregning kan godt være svært, men vi laver en grundig gennemgang med flere eksempler, så du kan blive klar til at differentiere.

Vi kommer ind på:

• Hvad er differentialregning?

• Hvordan differentierer man?

• Tangent og sekant

• 3-trinsreglen

• Oversigt over afledede funktioner

• Regneregler for differentiation af funktioner

Hvad er differentialregning?

Differentialregning går ud på at bestemme, hvor hurtigt en funktion vokser eller aftager i et bestemt punkt. Det betyder, at man finder hældningen i dette bestemte punkt. Senere kommer vi ind på, hvordan det kan være.

Først vil vi nemlig vise, hvordan man udfører differentialregning. 

Hvordan differentierer man?

Vi ved, hvordan funktioner ser ud (ellers kan du læse vores indlæg om funktioner). En funktion kan fx se sådan her ud:

• f(x) = x³ + 6x² + 4x + 5

Når man differentierer en funktion, finder man den afledede funktion, som man skriver f’(x) (man læser det som “f mærke af x”). Man differentierer et led af gangen, og vores funktion ovenfor har fire led (fordi led adskilles af + og -).

Vi starter altså med leddet x³. Det gælder generelt, at når man differentierer et x opløftet i en potens (xⁿ), skal man trække 1 fra n, flytte n ned foran x og gange det ind i leddet:

• xⁿ → n ⋅ x^n-1 

I vores eksempel gør vi derfor sådan her:

• x³ → 3 ⋅ x^3-1 → 3x² 

Sådan fortsætter vi med vores næste led 6x²:

• 6x² → 2 ⋅ 6x^2-1 → 12x

Husk, at når et tal er opløftet i 1, er det det samme som tallet selv.

Vi går videre til det næste led, som er 4x. Når man har et x ganget med en konstant (som i vores tilfælde er 4), får man bare konstanten, når man differentierer. Hvis vi kalder konstanten for k, gælder det generelt, at:

• kx → k

Så i vores tilfælde differentierer vi sådan her:

• 4x → 4

Nu har vi et led tilbage i vores funktion, nemlig 5. Det gælder generelt, at når man differentierer en konstant, giver det 0:

• k → 0

Så vi fjerner bare konstanten. Sådan har vi fundet den afledede funktion:

• f’(x) = 3x² + 12x + 4

Lad os beregne et eksempel mere. Vi har denne funktion:

• f(x) = 4x³ + 2x² + 9x + 10

Først differentierer vi første led:

• 4x³ → 3 ⋅ 4x^3-1 → 12x² 

Så tager vi næste led:

• 2x² → 2 ⋅ 2x^2-1 → 4x

Så tager vi tredje led:

• 9x → 9

Konstanten kan vi bare fjerne. Sådan har vi differentieret funktionen og fået denne afledede funktion:

• 12x² + 4x + 9

Tangent og sekant

Som nævnt går differentialregning ud på at bestemme, hvor hurtigt en funktion vokser eller aftager i et bestemt punkt. Den afledte funktion er derfor funktionen for hældningen i givent punkt.

Den rette linje, som skærer grafen i netop ét punkt, kaldes en tangent. Den hældning, som man kommer frem til, kaldes differentialkvotienten. Man kan tegne en tangent i alle punkter – medmindre grafen har et knæk. Det er kun, hvis grafen ikke knækker, at man kan differentiere. Det hedder også, at en graf, der ikke knækker, er differentiabel.

Den gule graf er grafen for vores funktion f. Den blå linje er tangenten.

For at finde differentialkvotienten skal man finde hældningen af sekanten. En sekant er en ret linje, som skærer grafen i to punkter. Vi vil nu gennemgå, hvordan man finder sekanthældningen (som også kaldes differenskvotienten). Vær opmærksom på forskellen mellem begreberne differentialkvotienten (= tangenthældningen) og differenskvotienten (= sekanthældningen).

Vi tegner to punkter på grafen, og så tegner vi en sekant igennem disse to punkter. Vores sekant er den grønne linje.

Det ene punkt har koordinaterne (x₀, f(x₀)). Afstanden fra x₀ til det andet punkt på x-aksen kalder vi h. Derfor er x-koordinaten til det andet punkt x₀+h, og y-koordinaten er f(x0+h). 

Afstanden mellem de to punkter på y-aksen kaldes ∆y (man siger det som “delta y”). Delta er et græsk bogstav, som man bruger til at beskrive en tilvækst. Altså betyder ∆y tilvæksten af y. Ligeledes er h det samme som ∆x (“delta x” som betyder tilvæksten af x).

Vi ved fra lineære funktioner, at når vi har en lige linje med to punkter (x₁, x₂) og (y₁, y₂), kan vi bestemme tilvæksten (og dermed hældningen) med følgende formel:

På samme måde kan vi også lave en formel for hældningen af sekanten:

Vi finder tangenthældningen ved at flytte sekanten uendeligt tæt på tangenten. Den vil aldrig helt ramme, da en tangent kun rører grafen i ét punkt, mens sekanten skærer grafen i to punkter. Det svarer til, at vi flytter de to punkter uendeligt tæt på hinanden, og derved gør vi h uendeligt lille. Når h er uendeligt lille, er den næsten nul, og derfor bliver h’et overflødigt. Dét, der står tilbage i ligningen, er tangenthældningen – eller rettere hældningen for den sekant, som kommer uendeligt tæt på tangenten.

At h går mod nul kan, så hældningen for sekanten kommer uendeligt tæt på hældningen for tangenten, kan skrives på denne måde:

(limes (lim) betyder ‘grænseværdien’.)

3-trinsreglen

Nu ved vi, hvad en tangent og en sekant er, og vi har set eksempler på, hvordan man differentierer. Her vil vi gennemgå, hvordan man bruger 3-trinsreglen til at differentiere funktioner.

Tretrinsreglen består af følgende tre trin:

• Trin 1: Bestem funktionstilvæksten

• Trin 2: Bestem sekanthældningen

• Trin 3: Bestem tangenthældningen ved at lade h gå mod 0

Vi beregner et eksempel. Vi tager denne funktion:

• f(x) = a ⋅ x² 

Vi differentierer funktionen:

• f’(x) = 2ax

Det er denne afledede funktion, som vi skal finde frem til, når vi bruger 3-trinsreglen.

Trin 1:

Vi starter med at finde f(x₀ + h) ved at sætte x₀ + h ind på x's plads i funktionen:

• f(x) = a ⋅ x² 

• f(x₀ + h) = a ⋅ (x₀ + h)² = a ⋅ (x₀ + h) ⋅ (x₀ + h) = a ⋅ ((x₀)² + h² + 2x₀h) = a ⋅ (x₀)² + a ⋅ h² + 2ax₀h

Dernæst finder vi f(x₀):

• f(x₀) = a ⋅ x₀² 

Vi finder y-tilvæksten eller funktionstilvæksten ved at trække dem fra hinanden:

• Δy = f(x₀ + h) - f(x₀) = (a ⋅ (x₀)² + a ⋅ h² + 2ax₀h) - (a ⋅ x₀²) = a ⋅ h² + 2ax₀h

Trin 2:

Dernæst finder vi sekanthældningen. Vi bruger formlen for hældningen af sekanten:

Vi finder sekanthældningen således:

Trin 3:

Til sidst finder vi tangenthældningen ved at lade h gå mod 0.

Når vi lader h gå mod nul, lader vi h blive uendeligt lille. Når h bliver uendeligt lille, bliver a ⋅ h også uendeligt lille, og derfor kan vi se bort fra a ⋅ h i ligningen. 2ax₀ står upåvirket af h’s størrelse. Det betyder, at…

• f’(x) = 2ax

Det var den afledede funktion, som vi skulle finde frem til.

Oversigt over afledede funktioner

Hvis ikke man vil bruge 3-trinsreglen, er der hurtigere måder at differentiere på. Vi har allerede set, hvordan man finder de afledede funktioner af disse slags led i en funktion:

• xⁿ → n ⋅ x^n-1 

• kx → k

• k → 0

Men hvad hvis ens funktion indeholder fx en brøk, en rod eller en logaritme? Det kan du finde i denne oversigt:

Regneregler for differentiation af funktioner

Vi vil nu gennemgå regnereglerne for differentiation af flere funktioner. Disse regneregler kalder vi:

• Sumreglen: At differentiere en funktion plus en funktion

• Differensreglen: At differentiere en funktion minus en funktion

• Konstantreglen: At differentiere en konstant gange en funktion

• Produktreglen: At differentiere en funktion gange en funktion

• Kvotientreglen: At differentiere en funktion divideret med en funktion

Sumreglen eller differensreglen

Hvis man vil differentiere summen eller differensen af to funktioner f og g, kan man differentiere dem hver for sig. Summen er de to funktioner lagt sammen, og differensen er de to funktioner trukket fra hinanden. Sætningen lyder:

• (f ± g)’(x) = f’(x) ± g’(x)

f’(x) er sådan, man skriver differentialkvotienten af funktionen f, ligesom g’(x) er sådan, man skriver differentialkvotienten af funktionen g.

Altså er differentialkvotienten af en sum ((f + g)’) lig med summen af differentialkvotienterne (f’ og g’). Ligeledes er differentialkvotienten af en differens ((f - g)’) lig med differensen af differentialkvotienterne (f’ og g’).

Lad os beregne et eksempel. Vi har disse to funktioner:

• f(x) = 4x³ + 7

• g(x) = 3x² + 11x

Vi kan samle de to funktioner sådan her:

• (f ± g)(x) = 4x³ + 7 ± (3x² + 11x)

Vi kan differentiere de to funktioner hver for sig:

• f(x) = 4x³ + 7 → f’(x) = 3 ⋅ 4x^3-1 → f’(x) = 12x²

• g(x) = 3x² + 11x → g’(x) = 2 ⋅ 3x^2-1 + 11 → g’(x) = 6x + 11

På samme måde kan vi samle de to afledede funktioner:

• (f ± g)’(x) = 12x² ± 6x + 11

Hvorfor gør man sådan? Det kan vi vise med et bevis:

Når h går mod nul, betyder det at:

Vi har set, at når man dividerer y-tilvæksten med x-tilvæksten, finder man sekanthældningen, og man lader sekanthældningen gå mod tangenthældningen, som er den afledede funktion, altså f’.

På samme måde gælder det, at:

Vi ønsker at bestemme differentialkvotienten (det vil sige tangenthældningen) for sumfunktionen f + g (det kunne også have været differensfunktionen f - g). Først beregner vi differenskvotienten (det vil sige sekanthældningen):

Vi kan dele brøken op i to brøker:

Nu har vi formlen for differenskvotienten (sekanthældningen). Så lader vi h gå mod nul. Vi har allerede fastlagt, at når h går mod nul, går differenskvotienten mod differentialkvotienten (tangenthældningen), som er henholdsvis f’(x₀) og g’(x₀).

Differentialkvotienten af funktionen f + g er som nævnt (f + g)’(x₀). Vi sætter den lig med den differentialkvotient, som vi fandt ovenover, når h går mod nul. Vi kan derfor bevise, at:

Konstantreglen

En anden regel for differentiation af funktioner er konstantreglen. Hvis man vil differentiere en funktion, der er ganget med en konstant, skal man lade konstanten stå og blot differentiere funktionen. Sætningen lyder:

• g(x) = k ⋅ f(x) → 

• g’(x) = k ⋅ f’(x)

Produktreglen

Den tredje regel for differentiation af funktioner er produktreglen. Den bruger man, hvis man vil differentiere to funktioner, som er ganget med hinanden. Sætningen lyder:

• (f ⋅ g)(x) = f(x) ⋅ g(x) →

• (f ⋅ g)’(x) = f’(x) ⋅ g(x) + f(x) ⋅ g’(x)

Altså ganger man den første afledede funktion (f’(x)) med den anden funktion (g(x)), og man ganger den første funktion (f(x)) med den anden afledede funktion (g’(x)), og så lægger man disse sammen.

Kvotientreglen

Den fjerde regel for differentiation af funktioner er kvotientreglen. Den bruger man, hvis man vil differentiere to funktioner, som er divideret med hinanden. Sætningen lyder:

Sådan slutter vores indlæg om differentialregning. Hvis du stadig ikke har helt styr på det, eller hvis du mangler hjælp til dine lektier eller din opgave, kan du få lektiehjælp i matematik hos GoTutor.