I dette indlæg vil vi gennemgå, hvordan man finder monotoniforholdene for en funktion ved hjælp af differentialregning. Hvis du ikke har helt styr på, hvad det er, er det en god idé at læse vores indlæg om differentialregning, inden du læser videre her.
Du kan også tjekke GoTutors matematikblog, hvor vi gennemgår flere emner inden for matematik.
Hvad er monotoniforhold?
Man finder en funktions monotoniforhold ved at bestemme intervallerne, hvori funktionen er voksende, og intervallerne, hvori funktionen er aftagende. Monotoniforholdene fortæller, hvordan en grafen til en funktion ser.
I indlægget om differentialregning beskriver vi, hvordan en ret linje, som skærer grafen i netop ét punkt, kaldes en tangent, og tangentens hældning kaldes differentialkvotienten. Hvis differentialkvotienten i det givne punkt er positiv, er tangentens hældning også positiv, og det betyder, at funktionen i dette punkt er voksende.
Dette gælder også et helt interval (afstanden mellem to værdier). Der kan altså ligeledes være et interval, hvor differentialkvotienterne og tangenthældningerne er positive i alle punkter, og hvor funktionen er voksende i hele dette interval. I et interval, hvor differentialkvotienterne og tangenthældningerne derimod er negative i alle punkter, er funktionen aftagende. I et interval, hvor differentialkvotienterne og tangenthældningerne er nul i alle punkter, er funktionen konstant.
Altså gælder følgende:
f’(x) > 0 → f er voksende
f’(x) < 0 → f er aftagende
f’(x) = 0 → f er konstant
Når man skal bestemme monotoniforholdene for en funktion, starter man med at differentiere funktionen, så man får den afledede funktion. Dernæst sætter man den afledede funktion lig med 0, så man får denne ligning:
f’(x) = 0
Flere x-værdier kan være løsningen på denne ligning. Det er ved disse x-værdier, at tangenten er konstant, og man har et nulpunkt. Et nulpunkt kan enten være et maksimumspunkt, et minimumspunkt eller et vendetangentspunkt. Som vist på billedet nedenunder er tangenterne, der skærer disse punkter, alle konstante – altså de er hverken voksende eller aftagende, men derimod helt vandrette.
Man kan kende de forskellige nulpunkter således:
Maksimumspunkt: Når f’(x) er voksende til venstre for nulpunktet og aftagende til højre for nulpunktet.
Minimumspunkt: Når f’(x) er aftagende til venstre for nulpunktet og voksende til højre for nulpunktet.
Vendetangentspunkt: Når f’(x) både er voksende eller både er aftagende på begge sider af nulpunktet.
Monotoniforhold: Eksempel
Lad os gennemgå et eksempel. Vi vil finde monotoniforholdene for denne funktion:
f(x) = 2x³ - 6x² + 7
Vi starter med at differentiere funktionen:
f’(x) = 3 ⋅ 2x3-1 - 1 ⋅ 6x2-1 + 7 = 6x² - 12x
Næste punkt er at finde de x-værdier, hvor f′(x) er lig med 0 – det vil sige de steder, hvor der er et maksimum, et minimum og eventuelt en vendetangent.
f’(x) = 0 →
6x² - 12x = 0
Vi løser ligningen ved hjælp af nulreglen, så vi sætter 6x uden for parentes:
6x(x - 2) = 0
Nulreglen går ud på at få to faktorer, der skal ganges sammen (henholdsvis 6x og x - 2). For at få et facit på 0, skal vi gange med noget, der ligeledes giver 0. I den ene faktor, 6x, skal vi gange 6 med 0 for at få 0. I den anden faktor, x - 2, skal vi trække 2 fra 2 for at få 0. Vi har dermed to løsninger for x-værdien:
x = 0 V x = 2
Det betyder, at i punkterne med x-værdierne 0 og 2 er tangentens hældning konstant (så tangenten er vandret).
Nu skal vi finde ud af, om funktionen er voksende eller aftagende i intervallerne før, mellem og efter disse punkter. Det gør vi ved at se på fortegnet af den afledede funktion f’. Hvis det er positivt, er funktionen voksende, og hvis det er negativt, er funktionen aftagende.
Vi starter med at se på intervallet til venstre for x-værdien 0 – det vil sige alle tal, der er mindre end 0. Vi vælger selv, hvilket tal vi kigger på, så for nemheds skyld tager vi -1. Det sætter vi ind på x’s plads i den afledede funktion:
f’(-1) = 6 ⋅ (-1)² - 12 ⋅ (-1) = 6 ⋅ 1 + 12 = 18
18 > 0
18 er positivt, hvilket betyder, at funktionen er voksende, når x-værdien er mindre end 0.
Vi kigger på næste interval mellem x-værdierne 0 og 2. Her er det oplagt at se på 1, så vi sætter 1 ind på x’s plads i den afledede funktion:
f’(1) = 6 ⋅ (1)² - 12 ⋅ (1) = 6 ⋅ 1 - 12 = -6
-6 < 0
-6 er negativt, og det betyder, at funktionen er aftagende i intervallet mellem 0 og 2.
Nu kigger vi på det sidste interval, som er intervallet til højre for x-værdien 2. Det er ethvert tal, der er større end 2. Vi vælger punktet 3 og sætter 3 ind på x’s plads i den afledede funktion:
f’(3) = 6 ⋅ (3)² - 12 ⋅ (3) = 6 ⋅ 9 - 36 = 18
18 > 0
18 er positivt, så funktionen er voksende, når x-værdien er større end 2.
Nu har vi fundet vores resultater, og dem skriver vi ind på en monotonilinje. Monotonilinjen illustrerer intervallerne, om funktionen er voksende eller aftagende i intervallerne, og om nulpunkterne er lokale maksimumspunkter, lokale minimumspunkter eller vendetangenter.
Vi tegner en linje med vores x-værdier, som er 0 og 2. Nedenunder tegner vi fortegnene for den afledede funktion f’, altså plus eller minus. Nedenunder dette tegner vi pile, der enten er opadgående (hvis fortegnet ovenover er et plus) eller nedadgående (hvis fortegnet ovenover er et minus). Ud fra disse kan vi se, om nulpunkterne er maksimumspunkter, minimumspunkter eller vendetangenter. Som vi tidligere gennemgået, kan man skelne mellem nulpunkterne på denne måde:
Maksimumspunkt: Når f’(x) er voksende til venstre for nulpunktet og aftagende til højre for nulpunktet.
Minimumspunkt: Når f’(x) er aftagende til venstre for nulpunktet og voksende til højre for nulpunktet.
Vendetangentspunkt: Når f’(x) både er voksende eller både er aftagende på begge sider af nulpunktet.
Vores monotonilinje ser sådan her ud:
Lad os opsummere vores fund:
f er voksende, når x ∈ ]-∞; 0] og når x ∈ [2; ∞[
f er aftagende, når x ∈ [0; 2]
f har et lokalt maksimum i punktet (0, f(0))
f har et lokalt minimum i punktet (2, f(2))
Tegnet ∈ læses som “tilhører.” Tegnet ∞ betyder uendeligt (fordi talrækken af x-værdier fortsætter i det uendelige). Så har vi tegnene [ og ], som man kalder klammer. Man bruger klammerne til at angive intervallet. For eksempel kan man læse den sidste sætning som “f er aftagende, når x tilhører intervallet mellem 0 og 2.”
Vores opsummering og vores monotonilinje fortæller, hvordan grafen til vores funktion ser ud: den vokser indtil 0, den aftager mellem 0 og 2, og så vokser den igen efter 2. Den har et lokalt maksimum i punktet (0, f(0)) og et lokalt minimum i punktet (2, f(2)). For god ordens skyld kan vi også tegne vores graf og tjekke efter:
Det passer heldigvis!
Ekstrema og monotoniforhold
Vores graf ovenfor havde ingen vendetangentspunkter, men man kan også støde på grafer med et vendepunkt. Som beskrevet gælder det i disse tilfælde, at f er voksende på begge sider af nulpunktet eller aftagende på begge sider af nulpunktet. Ved maksimums- og minimumspunkterne er f derimod voksende på den ene side og aftagende på den anden side. Maksimums- og minimumspunkter går også under den samlede betegnelse ekstremumssteder. Her kalder man funktionsværdierne lokale ekstrema (ekstrema er flertalsformen af ekstremum).
Hvis en funktion har flere lokale ekstrema, som fx flere lokale maksima (maksimumspunkter), kalder man det største maksimum for globalt maksimum. På samme måde kalder man det mindste minimum for globalt minimum. Hvert ekstremum er deres eget lokale maksimum eller minimum, mens der kun findes ét globalt maksimum og ét globalt minimum.
Når man har en funktion, som har flere maksimumspunkter eller flere minimumspunkter, er det godt at kunne vise, hvor grafens udsving er allerstørst – altså hvor punkterne er globale. Hvis der ikke er flere af samme slags ekstremumssteder (af hvad man kan se på grafen), kalder man det lokale ekstremumssteder, så “lokalt maksimum” og “lokalt minimum”, som vi har gjort ovenfor.